Partiell differenzierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Einen schönen guten Tag euch (auch wenn er bei mir es nicht soo ist)!!
Dieses Semester bzw. diese Vorlesung scheint mir echt alles zu geben. Ist einfach das Härteste für mich bis jetzt. Vielleicht ist es normal dass man zu jedem Übungsabschnitt einige Fragen hat oder nichts versteht.
Ich bin bei Aufgaben gelandet (mal wieder) bei denen ich einfach wieder große Schwierigkeiten habe. Vielleicht liegt es daran, dass ich zu viel nachdenke. Oder ich brauche einfach Beispielaufgaben mit Lösungen dass ich sie super kann (wie in der Schulzeit)
Ich komme mal zu den 3 Aufgaben:
Untersuche, an welchen Stellen die folgenden Abbildungen partiell differenzierbar sind und berechne dort ihre partiellen Ableitungen [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}.
[/mm]
1.
[mm] f(x,y)=x^2y^3-2y
[/mm]
2.
[mm] f(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
3.
[mm] f(x,y)=x^y
[/mm]
Würde mich freuen, wenn mir jemand zeigt wie das geht...habe einen Haufen von diesen Aufgaben...
Danke!!! Schönen Samstag euch allen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Prinzessin,
du musst einfach feststellen für welche $(x;y)$ die partiellen Ableitungen existieren. D.h. für [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] kannst du zu [mm] $f_{y_0}(x)=f(x;y_0)$ [/mm] einfach die Ableitung bilden und musst überprüfen, für welche [mm] $(x_0;y_0)$ [/mm] die Ableitung existiert. Entsprechendes dann auch für die andere partielle Ableitung.
Gruß Max
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Hallo Max,
danke für die Antwort.
Das heisst ich kann zu 1. einfach die Ableitung bilden, die dann wäre
[mm] f'(x,y)=2xy^3 [/mm] ? Oder habe ich das falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Das heisst ich kann zu 1. einfach die Ableitung bilden, die
> dann wäre
> [mm]f'(x,y)=2xy^3[/mm] ? Oder habe ich das falsch verstanden?
Nein, das hast Du jetzt richtig verstanden, denke ich!
Aber bitte sauberer aufschreiben:
[mm] $\red{\bruch{\partial f}{\partial x}}(x, [/mm] y) \ = \ [mm] 2x*y^3$
[/mm]
Oder: [mm] $f_{\red{x}}(x, [/mm] y) \ = \ [mm] 2x*y^3$
[/mm]
Bei den anderen Aufgaben wirst Du dann wohl feststellen, daß man dort nicht alles Werte für x und/oder y einsetzen darf!
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
danke für die Hinweise!
Ich habe auf der Seite von Wikipedia das hier gefunden:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung
Da wird die Ableitung von f(x,y) nach x und nach y angegeben. Muss ich das hier auch machen?
Also wäre die Ableitung nach y bei der Aufgabe 1 entsprechend [mm] 3y*x^2 [/mm] ?
Bei Aufgabe 2 habe ich ja:
[mm] f(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] {\bruch{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\bruch{y*x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Und hier muss gelten: x>y
Richtig?
Die Ableitung für die Aufgabe 2. habe ich mit einem Programm berechnen lassen.
Das muss ich aber in der Form selbst ausrechnen wie bei Wikipedia gezeigt oder?
Wenn ja, wie berechnet man das [mm] \Delta [/mm] x ? Das muss man ja einsetzen und ausrechnen. Was wäre das [mm] \Delta [/mm] x bei [mm] f(x,y)=x^2y^3-2y [/mm] ?
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Prinzessin!
> Da wird die Ableitung von f(x,y) nach x und nach y
> angegeben. Muss ich das hier auch machen?
Da Du ja die partiellen Ableitungen ermitteln sollst (siehe Deine Aufgabenstellung), mußt Du auch jeweils einmal nach $x$ und nach $y$ ableiten, um zu erhalten: [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)$ [/mm] .
> Also wäre die Ableitung nach y bei der Aufgabe 1
> entsprechend [mm]3y*x^2[/mm] ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Funktion lautet doch: $f(x,y) \ = \ [mm] x^2*y^3 [/mm] - 2y$
Wenn Du nun nach $y$ ableitest, wird $x$ als konstant angesehen.
Ich erhalte dann: [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 3*x^2*y^2 [/mm] - 2 \ = \ [mm] 3x^2*y^2 [/mm] - 2$
> Bei Aufgabe 2 habe ich ja:
> [mm]f(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]{\bruch{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\bruch{y*x}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und hier muss gelten: x>y
Wie kommst Du denn darauf? Für welche Werte von $(x,y)$ ist denn dieser genannte Ausdruck nicht definiert?
Wenn der Nenner eines Bruches gleich Null wird zum Beispiel. Für welche $(x,y)$ tritt dieser Fall auf?
> Die Ableitung für die Aufgabe 2. habe ich mit einem
> Programm berechnen lassen.
> Das muss ich aber in der Form selbst ausrechnen wie bei
> Wikipedia gezeigt oder?
Du kannst Deine (partiellen) Ableitungen wie gehabt mit den bekannten Ableitungsregeln ermitteln.
Du mußt halt immer genau wissen, nach welcher Variable Du gerade ableitest. Die restlichen Variablen werden in diesem Moment als konstant angesehen.
Gruß
Loddar
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Dankeschön!!
Wie ich auf x>y gekommen bin...ich habe es mit einer anderen Aufgabe [mm] \wurzel{x-y} [/mm] verwechselt. Da muss ja x größer sein, wegen negativer Wurzel.
In diesem Fall darf x=y=0 nicht sein. Das wars oder?
Für 2. habe ich insgesamt:
[mm] {\bruch{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\bruch{y\cdot{}x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Auch hier darf x=y=0 nicht sein. oder?
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] habe ich mit Maple berechnen lassen. Aber wie kommt man drauf? Habe keinen Lösungsweg der mir das so zeigt.
Dann habe ich ein Problem mit:
[mm] f(x,y)=x^y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y*x^{y-1} [/mm] ist mir klar.
Auch hier darf nicht x=y=0 gelten. Oder ist das "selbstverständlich"?
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^y*ln(x)
[/mm]
Wie kommt man rechnerisch auf das [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] ?
Eigentlich darf bei keiner Abbildung hier x=y=0 sein oder? Brauche ich das dann angeben?
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Hallo Prinzessin,
> Für 2. habe ich insgesamt:
> [mm]{\bruch{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\bruch{y\cdot{}x}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}+\bruch{y^2}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> Auch hier darf x=y=0 nicht sein. oder?
>
der Grenzwert der partiellen Ableitungen nach y an der Stelle (0,0) existiert aber.
[mm]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \;\frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}}
{{\delta y}}\; = \;\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}}
{{\delta y}}\; = \;0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] habe ich mit Maple
> berechnen lassen. Aber wie kommt man drauf? Habe keinen
> Lösungsweg der mir das so zeigt.
>
Für die partielle Ableitung nach y ist die Produktregel angewandt worden.
> Dann habe ich ein Problem mit:
> [mm]f(x,y)=x^y[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y*x^{y-1}[/mm] ist mir
> klar.
>
> Auch hier darf nicht x=y=0 gelten. Oder ist das
> "selbstverständlich"?
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^y*ln(x)[/mm]
>
> Wie kommt man rechnerisch auf das [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm]
> ?
Zunächst läßt sich die Funktion f(x,y) anders darstellen:
[mm]f(x,\;y)\; = \;x^{y} \; = \;e^{y\;\ln \;x} [/mm]
Nun wird die partielle Ableitung nach y gebildet:
[mm]\frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}}
{{\delta y}}\; = \;\frac{{\delta \left( {e^{y\;\ln \;x} } \right)}}
{{\delta y}}\; = \;\frac{{\delta \left( {y\;\ln \;x} \right)}}
{{\delta y}}\;e^{y\;\ln \;x} \; = \;\ln \;x\;e^{y\;\ln \;x} \; = \;x^y \;\ln \;x[/mm]
Der Fachausdruck hierfür ist "Logarithmische Differentiation".
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower!
Danke dir für die Tipps und Hinweise!
Dadurch dass der Grenzwert der partiellen Ableitungen nach y an der Stelle (0,0) bei der Aufgabe 2 existiert darf nur bei der Ableitung nach x nicht gelten x=y=0, da sonst der Nenner null wird. Richtig?
Die Formel der Produktregel lautet ja
f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
Wie muss man dann bei [mm] f(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2} [/mm] einsetzen? Ich habe hier ja nur eine Funktion.
Und bei den Ableitungen nach x und y von [mm] f(x,y)=x^y [/mm] kann x und y jeden Wert annehmen oder?
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Hallo Prinzessin,
> Dadurch dass der Grenzwert der partiellen Ableitungen nach
> y an der Stelle (0,0) bei der Aufgabe 2 existiert darf nur
> bei der Ableitung nach x nicht gelten x=y=0, da sonst der
> Nenner null wird. Richtig?
richtig.
>
> Die Formel der Produktregel lautet ja
> f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
>
> Wie muss man dann bei [mm]f(x,y)=y\wurzel{x^2+y^2}[/mm] einsetzen?
> Ich habe hier ja nur eine Funktion.
Diese eine Funktion besteht aus einem Produkt von Funktionen.
[mm]f\left( {x,\;y} \right)\; = \;f_1 \left( {x\;,y} \right)\;f_2 \left( {x\;,y} \right)[/mm]
mit
[mm]
\begin{gathered}
f_1 \left( {x\;,y} \right)\; = \;y \hfill \\
f_2 \left( {x\;,y} \right)\; = \;\sqrt {x^2 \; + \;y^2 } \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
>
> Und bei den Ableitungen nach x und y von [mm]f(x,y)=x^y[/mm] kann x
> und y jeden Wert annehmen oder?
Da gibt es auch Einschränkungen, z.B. darf bei [mm]\[
\frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}} {{\delta x}}\; = \;y\;x^{y - 1} [/mm] y nicht den Wert 0 annehmen.
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
ich habe jetzt die Ableitungen mit der Produktregel hinbekommen.
Darf bei $ [mm] \[ \frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}} {{\delta x}}\; [/mm] = [mm] \;y\;x^{y - 1} [/mm] $ y den Wert 0 nicht annehmen weil sonst das Produkt immer 0 ergibt oder weil der Exponent nicht negativ werden darf?
Andere Aufgaben snd ähnlich die ich auch hinbekomme.
Bei einer habe ich noch ein Problem.
[mm] f(x,y)=x^2ln(x^2+y^2)
[/mm]
Kann man sich das erleichtern? Weil die Ableitung nach x sah im Programm kompliziert aus...
Danke dir!!!
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Hallo Prinzessin,
> Darf bei [mm]\[ \frac{{\delta f\left( {x,\;y} \right)}} {{\delta x}}\; = \;y\;x^{y - 1}[/mm]
> y den Wert 0 nicht annehmen weil sonst das Produkt immer 0
> ergibt oder weil der Exponent nicht negativ werden darf?
Für y = 0 ist f(x,y) = [mm]x^{0}[/mm] = konstant.
Und die Ableitung einer Konstanten ist nun mal 0. nicht [mm]x^{-1}[/mm].
>
> Andere Aufgaben snd ähnlich die ich auch hinbekomme.
> Bei einer habe ich noch ein Problem.
>
> [mm]f(x,y)=x^2ln(x^2+y^2)[/mm]
>
> Kann man sich das erleichtern? Weil die Ableitung nach x
> sah im Programm kompliziert aus...
Leider nicht.
Gruß
MathePower
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