Partiell ableiten, 3 Parameter < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 25.10.2010 | | Autor: | JaykopX |
Ich habe in einem Skript zur Thermodynamik folgende Funktion:
U(S, V, N).
Nun steht weiter im Skript das U homogen vom Grad 1 ist also:
[mm] U(\lambda [/mm] S, [mm] \lambda [/mm] V, [mm] \lambda [/mm] N) = [mm] \lambda [/mm] U(S, V, N)
Jetzt schreibt der Prof.: differnzieren nach [mm] \lambda [/mm] und kommt auf folgende Gleichung:
[mm] \bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda S)} \cdot \bruch{\partial (\lambda S)}{\partial \lambda} [/mm] + [mm] \bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda V)} \cdot [/mm] V [mm] +\bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda N)} \cdot [/mm] N = U(S, V, N)
Rechte Seite versteh ich, aber die linke Seite verstehe ich nicht ganz.
Ich verstehe nicht welche Regeln er anwendet um auf diese Gleichung zu kommen.
Ich sehe da irgendwie die Kettenregel, aber ich komm nicht auf sein Ergebnis. Vorallem verwirrt mich, dass er nicht nach [mm] \lambda [/mm] sondern nach [mm] \lambda [/mm] S, [mm] \lambda [/mm] V und [mm] \lambda [/mm] N ableitet.
Ich benötige einen Ansatz wie man eine Funktion mit mehreren Paramtern partiell ableitet(wobei hier ja alle Paramtern von [mm] \lambda [/mm] abhängen??)
Kann vieleicht Jemand einen aufschlussreichen zwischenschritt angeben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JaykopX,
> Ich habe in einem Skript zur Thermodynamik folgende
> Funktion:
> U(S, V, N).
>
> Nun steht weiter im Skript das U homogen vom Grad 1 ist
> also:
> [mm]U(\lambda[/mm] S, [mm]\lambda[/mm] V, [mm]\lambda[/mm] N) = [mm]\lambda[/mm] U(S, V, N)
>
> Jetzt schreibt der Prof.: differnzieren nach [mm]\lambda[/mm] und
> kommt auf folgende Gleichung:
> [mm]\bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda S)} \cdot \bruch{\partial (\lambda S)}{\partial \lambda}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda V)} \cdot[/mm]
> V [mm]+\bruch{\partial U(\lambda S, \lambda V, \lambda N)}{\partial(\lambda N)} \cdot[/mm]
> N = U(S, V, N)
>
> Rechte Seite versteh ich, aber die linke Seite verstehe ich
> nicht ganz.
> Ich verstehe nicht welche Regeln er anwendet um auf diese
> Gleichung zu kommen.
> Ich sehe da irgendwie die Kettenregel, aber ich komm nicht
> auf sein Ergebnis. Vorallem verwirrt mich, dass er nicht
> nach [mm]\lambda[/mm] sondern nach [mm]\lambda[/mm] S, [mm]\lambda[/mm] V und [mm]\lambda[/mm]
> N ableitet.
Allgemein lautet die Funktion:
[mm]U\left( \ g_{1}\left(\lambda,S\right), \ g_{2}\left(\lambda,V\right), \ g_{3}\left(\lambda,N\right) \ \right)[/mm]
,wobei hier
[mm]g_{1}\left(\lambda,S\right)=\lambda*S[/mm]
[mm]g_{2}\left(\lambda,V\right)=\lambda*V[/mm]
[mm]g_{3}\left(\lambda,N\right)=\lambda*N[/mm]
ist.
Differentiation nach [mm]\lambda[/mm] mit Hilfe
der verallgemeineten Kettenregel ergibt:
[mm]\bruch{\partial U\left( \ g_{1}\left(\lambda,S\right), \ g_{2}\left(\lambda,V\right), \ g_{3}\left(\lambda,N\right) \ \right)}{\partial \lambda}=\bruch{\partial U\left( \ g_{1}\left(\lambda,S\right), \ g_{2}\left(\lambda,V\right), \ g_{3}\left(\lambda,N\right) \ \right)}{\partial g_{1}\left(\lambda,S\right)}*\bruch{\partial g_{1}\left(\lambda,S\right)}{\partial \lambda}}[/mm]
[mm]+\bruch{\partial U\left( \ g_{1}\left(\lambda,S\right), \ g_{2}\left(\lambda,V\right), \ g_{3}\left(\lambda,N\right) \ \right)}{\partial g_{2}\left(\lambda,V\right)}*\bruch{\partial g_{2}\left(\lambda,V\right)}{\partial \lambda}}[/mm]
[mm]+\bruch{\partial U\left( \ g_{1}\left(\lambda,S\right), \ g_{2}\left(\lambda,V\right), \ g_{3}\left(\lambda,N\right) \ \right)}{\partial g_{3}\left(\lambda,N\right)}*\bruch{\partial g_{3}\left(\lambda,N\right)}{\partial \lambda}}[/mm]
bzw. etwas kürzer:
[mm]\bruch{\partial U}{\partial \lambda}=\bruch{\partial U}{\partial g_{1}}*\bruch{\partial g_{1}}{\partial \lambda}}+\bruch{\partial U}{\partial g_{2}}*\bruch{\partial g_{2}}{\partial \lambda}}+\bruch{\partial U}{\partial g_{3}}*\bruch{\partial g_{3}}{\partial \lambda}}[/mm]
Ist [mm]f:\IR^{n} \to \IR}[/mm] und [mm]g_{i}:\IR^{n} \to \IR, i=1, \ ... \, m \subset \IN[/mm]
Dann ist die partielle Ableitung von
[mm]f\left(\ x_{1}, \ ... \ , \ x_{n}\right)=f\left( \ g_{1}\left(\ x_{1}, \ ... \ , \ x_{n}\right), \ ... \ , \ g_{m}\left(\ x_{1}, \ ... \ , \ x_{n}\right) \ \right)[/mm]
nach [mm]x_{k}, \ 1 \le k \le n[/mm]:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{k}}=\bruch{\partial f}{\partial g_{1}}*\bruch{\partial g_{1}}{\partial x_{k}}+ \ ... \ + \bruch{\partial f}{\partial g_{m}}*\bruch{\partial g_{m}}{\partial x_{k}}=\summe_{i=1}^{m}\bruch{\partial f}{\partial g_{i}}*\bruch{\partial g_{i}}{\partial x_{k}}}[/mm]
> Ich benötige einen Ansatz wie man eine Funktion mit
> mehreren Paramtern partiell ableitet(wobei hier ja alle
> Paramtern von [mm]\lambda[/mm] abhängen??)
> Kann vieleicht Jemand einen aufschlussreichen
> zwischenschritt angeben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Mo 25.10.2010 | | Autor: | JaykopX |
ah, ok. Er hat die Parameter als Funktionen von [mm] \lambda [/mm] ausgedrückt und dann die verallgemeineten Kettenregel angewandt.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 25.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich würde es so machen ( ich schreibe x statt [mm] \lambda)
[/mm]
Sei $g(x):= (xS,xV,xN)$ und $F(x)= U(g(x))$
Nach der Kettenregel ist
$F'(x)= U'(g(x))*g'(x)= gradU(g(x))* [mm] (S,V,N)^t= U_S(g(x))*S+U_V(g(x))*V+U_N(g(x))*N$
[/mm]
FRED
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