Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 02.07.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Berechnen Sie, sofern dieses existieren:
a) [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] |
Hallo Forum,
zunächst habe ich die Integranden mit der Partialbruchzerlegung umgeschrieben:
zu a)
[mm] \bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x*(x-1)^{2}}
[/mm]
Damit kann ich dann die einzelnen Summanden aufstellen:
f(x) = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Hauptnenner bilden:
[mm] \bruch{A*(x-1)^{2} + B*x*(x-1) + C*x}{x^3 - 2x^2 + x}
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich müsste sich dann
A = 1
B = -1
C = 1
ergeben.
Also:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} - \bruch{1}{x-1} + \bruch{1}{(x-1)^{2}}
dx}
[/mm]
Wenn das Integral existiert, müssten doch alle "Teil"-Integrale existieren?
Da aber bereits [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] nicht existiert, kann das gesamte Integral nicht existieren?
Reicht das als Begründung aus?
Gruß
Helicase
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Di 02.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie, sofern dieses existieren:
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> a) [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]
>
> Hallo Forum,
>
> zunächst habe ich die Integranden mit der
> Partialbruchzerlegung umgeschrieben:
>
> zu a)
>
> [mm]\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x*(x-1)^{2}}[/mm]
>
> Damit kann ich dann die einzelnen Summanden aufstellen:
>
> f(x) = [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> Hauptnenner bilden:
>
> [mm]\bruch{A*(x-1)^{2} + B*x*(x-1) + C*x}{x^3 - 2x^2 + x}[/mm]
>
> Durch Koeffizientenvergleich müsste sich dann
>
> A = 1
> B = -1
> C = 1
>
> ergeben.
>
> Also:
>
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} - \bruch{1}{x-1} + \bruch{1}{(x-1)^{2}}
dx}[/mm]
>
> Wenn das Integral existiert, müssten doch alle
> "Teil"-Integrale existieren?
>
> Da aber bereits [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> nicht existiert, kann das gesamte Integral nicht
> existieren?
Vorsicht, du solltest die Polstellen noch mitbeachten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}
[/mm]
>
> Reicht das als Begründung aus?
>
> Gruß
> Helicase
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Di 02.07.2013 | | Autor: | Helicase |
Danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich also solche Integrale habe, vorher schauen, ob Polstellen in den Integrationsgrenzen liegen. Wenn ja, daran dann die Teilintegrale aufstellen.
Wenn man diese dann betrachtet, folgt
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Und damit existiert [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] nicht.
Gruß
Helicase
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> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Wenn ich also solche Integrale habe, vorher schauen, ob
> Polstellen in den Integrationsgrenzen liegen. Wenn ja,
> daran dann die Teilintegrale aufstellen.
Hallo
Du solltest immer schauen ob die Funktion ggf. undefinierte Ausdrücke annehmen kann - also nicht nur die Integrationsgrenzen können uneigentlich sein sondern auch der Integrand selbst - diese Stellen werden Uneigentlichkeitsstellen des Integrals genannt. Dann trennst du natürlich in geeignete Intervalle.
Gruß Thomas
>
> Wenn man diese dann betrachtet, folgt
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] = -
> [mm]\infty[/mm]
>
ja
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
ja
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]
ja
>
> Und damit existiert [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]
> nicht.
>
> Gruß
> Helicase
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