Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Halli hallo,
ich möchte folgendes Integral [mm] \integral{\bruch{3(x^2+2)}{(x-2)(x+1)^2}}{dx} [/mm] mit Hilfe der PBW integrieren.
Ich habe folgenden Ansatz
[mm] \bruch{3(x^2+2)}{(x-2)(x+1)^2}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{(x+1)^2}
[/mm]
und dann
[mm] 3(x^2+2)(x-2)(x+1)^2=A(x+1)^2+B(x-2)(x+1)+C(x-2)
[/mm]
So, wie gehe ich jetzt weiter vor? da komme ich gerade nicht weiter...
Grüße
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Hallo,
[mm] 3(x^2+2)=A(x+1)^2+B(x-2)(x+1)+C(x-2) [/mm]
der Zähler der linken Seite der Gleichung verändert sich nicht, löse die Klammern auf, mache dann den Koeffizientenvergleich,
Steffi
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HI ok,
habe das nochmal korrigiert. komme dann auf
[mm] 3(x^2+2)=A(x+1)^2+B(x-2)(x+1)+C(x-2) [/mm]
[mm] 3x^2+6=x^2(A+B)+x(2A-B+C)+(A-2B-2C)
[/mm]
So, wie macht man jetzt den Koeffizientenvergleich am Besten??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HI ok,
>
> habe das nochmal korrigiert. komme dann auf
>
> [mm]3(x^2+2)=A(x+1)^2+B(x-2)(x+1)+C(x-2)[/mm]
>
> [mm]3x^2+6=x^2(A+B)+x(2A-B+C)+(A-2B-2C)[/mm]
ich mag' nichts nachrechnen, wenn ich die Aufgabe nicht (mehr) sehe,
ebensowenig, wenn die ganzen Rechnungen fehlen. Von daher wird
meine Antwort nun nur passen, wenn Du richtig gerechnet hast:
[mm] $$\red{3}*x^2+\green{0}*x+\blue{6}=\red{(A+B)}*x^2+\green{(2A-B+C)}*x+\blue{(A-2B-2C)}$$
[/mm]
Na, welche (drei) Gleichheiten, die gelten müssen, will ich wohl mit den Farben angedeutet haben? (Grund: schlag' nach, wann zwei Polynomfunktionen identisch sind: Genau dann, wenn sie den gleichen
Grad haben und wenn jeder ... !)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 15.10.2012 | | Autor: | steve.joke |
HI
danke hat geklappt. A=2, B=1 und C=-3
hatte vernachlässigt, dass auch 0x=2A-B+C gilt.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, um exakt zu bleiben 0=2A-B+C, du hast aber A, B und C korrekt berechnet, Steffi
Danke fürs Aufpassen Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Steffi,
> Hallo, um exakt zu bleiben 0=A-2B-2C, du hast aber A, B und
> C korrekt berechnet, Steffi
ne, Du hast Dich verguckt:
Es war
[mm] $$\text{\blue{6}}=A-2B-2C\,,$$
[/mm]
sofern seine Rechnung so stimmt, wie sie da steht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HI
>
> danke hat geklappt. A=2, B=1 und C=-3
>
> hatte vernachlässigt, dass auch 0x=2A-B+C gilt.
ist nur ein Verschreiber, der hier auch tatsächlich nicht falsch ist, aber
Du meinst
$$0=2A-B+C$$
oder
$$0*x=(2A-B+C)*x [mm] \text{ für alle }x\,.$$
[/mm]
Nur rein logisch!
Gruß,
Marcel
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Hallo, ich habe meinen Zettel von gestern noch, bis hier alls ok, Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mo 15.10.2012 | | Autor: | steve.joke |
Habs hinbekommen 
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo steve.joke,
>
> ich möchte folgendes Integral
> [mm]\integral{\bruch{3(x^2+2)}{(x-2)(x+1)^2}}{dx}[/mm] mit Hilfe der
> PBW integrieren.
>
> Ich habe folgenden Ansatz
>
>
> [mm]\bruch{3(x^2+2)}{(x-2)(x+1)^2}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{(x+1)^2}[/mm]
>
> und dann
>
> [mm]3(x^2+2)(x-2)(x+1)^2=A(x+1)^2+B(x-2)(x+1)+C(x-2)[/mm]
>
> So, wie gehe ich jetzt weiter vor? da komme ich gerade
> nicht weiter...
Etwas einfacher kannst Du A berechnen, indem Du die Gleichung mit (x-2) multiplizierst, dann die linke Seite kürzt und x=2 einsetzt. Dies kannst Du auch im Kopf machen. Es müßte A=18/9=2 herauskommen.
Ebenso C, indem Du mit [mm] $(x+1)^2$ [/mm] multiplizierst und dann x=-1 setzt.
C=3*3/(-3)=-3.
Um B zu bestimmen, kannst Du dann Koeffizientenvergleich machen oder einen einfachen Wert wie 1 fuer x einsetzen man erhält:
[mm] $\frac [/mm] {3*3} {(-1)*4} = [mm] \frac [/mm] 2 {-1} + [mm] \frac [/mm] B 2 + [mm] \frac [/mm] {-3} [mm] 4\;.$
[/mm]
Kannst Du ja mal nachrechnen.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 16.10.2012 | | Autor: | steve.joke |
Danke für den Hinweis.
Grüße
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