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Hallo, habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß ob sie richtig ist.
[mm] \integral_{}^{}(2x^2-2x+3)/(x^3-3x^2+3x-1) [/mm] Muss mit PBZ lösen.
Ich hab nun mit der Polynomdivison bei 1 die erste Nullstelle gefunden. Dann mittels quadratischer Ergänzung eine doppelte Nst. bei 1. Also hab ich eine dreifache Nst. bei 1.
[mm] (2x^2-2x+3)/(x^2+2x-3)= a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3
[/mm]
Dann habe ich mit dem Nenner auf der rechten Seite multipliziert.
[mm] 2x^2-2x+3= a/(x-1)^2+b/(x-1)+c
[/mm]
Dann habe ich für a=2, b=-6, c=-5 raus. Stimmt das so??
[mm] 2/(x-1)-6/(x-1)^2-5/(x-1)^3
[/mm]
Gruß
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Hallo Schmetterling99,
> Hallo, habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß ob
> sie richtig ist.
> [mm]\integral_{}^{}(2x^2-2x+3)/(x^3-3x^2+3x-1)[/mm] Muss mit PBZ
> lösen.
> Ich hab nun mit der Polynomdivison bei 1 die erste
> Nullstelle gefunden. Dann mittels quadratischer Ergänzung
> eine doppelte Nst. bei 1. Also hab ich eine dreifache Nst.
> bei 1.
> [mm](2x^2-2x+3)/(x^2+2x-3)= a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3[/mm]
> Dann
> habe ich mit dem Nenner auf der rechten Seite
> multipliziert.
> [mm]2x^2-2x+3= a/(x-1)^2+b/(x-1)+c[/mm]
> Dann habe ich für a=2,
> b=-6, c=-5 raus. Stimmt das so??
> [mm]2/(x-1)-6/(x-1)^2-5/(x-1)^3[/mm]
Der Koeffizient a stimmt, die Koeffizienten b und c leider nicht.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Danke für deine Antwort.
Ich weiß jetzt nicht wo mein Fehler liegt. Also am Ende hatte ich
[mm] ax^2-2ax+bx+a-b+c
[/mm]
auf der linken seite steht ja [mm] 2x^2-2x+3
[/mm]
Koeffizientenvgl.
a=2
-2=2a+b
3=a-b+c
gelöst bekomme ich b=-6 und c=5
Wo liegt den mein Fehler?
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Hallo Schmetterling99,
> Danke für deine Antwort.
> Ich weiß jetzt nicht wo mein Fehler liegt. Also am Ende
> hatte ich
> [mm]ax^2-2ax+bx+a-b+c[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> auf der linken seite steht ja [mm]2x^2-2x+3[/mm]
> Koeffizientenvgl.
> a=2
> -2=2a+b
Hier muss es doch heißen:
[mm]-2=\blue{-}2a+b[/mm]
> 3=a-b+c
> gelöst bekomme ich b=-6 und c=5
> Wo liegt den mein Fehler?
Gruss
MathePower
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Ah hab das Minus übersehen. -> a=2, b=-2, c=-1
Ok dann muss es doch jetzt lauten:
[mm] 2/(x-1)-2/(x-1)^2-1/(x-1)^3
[/mm]
Das erste aufgeleitet ist ja 2ln(x-1)
Beim Rest weiß ich nicht weiter???
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Hallo,
du hast zu lösen:
(1) 2=a
(2) -2=-2a+b
(3) 3=a-b+c
somit a=2, b=2, c=3
benutze bitte nicht das Unwort "aufleiten" du bestimmst die Stammfunktion, für den 2. und 3. Summanden kannst du z:=x-1 substituieren
Steffi
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> Hallo, habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß ob
> sie richtig ist.
> [mm]\integral_{}^{}(2x^2-2x+3)/(x^3-3x^2+3x-1)[/mm] Muss mit PBZ
> lösen.
> Ich hab nun mit der Polynomdivison bei 1 die erste
> Nullstelle gefunden. Dann mittels quadratischer Ergänzung
> eine doppelte Nst. bei 1. Also hab ich eine dreifache Nst.
> bei 1.
> [mm](2x^2-2x+3)/(x^2+2x-3)= a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3[/mm]
> Dann
> habe ich mit dem Nenner auf der rechten Seite
> multipliziert.
> [mm]2x^2-2x+3= a/(x-1)^2+b/(x-1)+c[/mm]
> Dann habe ich für a=2,
> b=-6, c=-5 raus. Stimmt das so??
> [mm]2/(x-1)-6/(x-1)^2-5/(x-1)^3[/mm]
>
> Gruß
Hello Butterfly,
ich hab hier nur mal kurz reingeschaut und muss sagen,
dass die zwingende Vorschrift, dies mit Partialbruchzer-
legung zu machen, ziemlich unsinnig ist. Wenn man einmal
entdeckt hat, dass der Nenner eine dreifache Nullstelle
hat und sich als [mm] (x-1)^3 [/mm] schreiben lässt, wäre es viel
sinnvoller, mit der Substitution $\ u:=x-1$ weiterzufahren !
LG Al-Chw.
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Ok, danke
Ich hab dann für den am Ende raus:
[mm] 2ln(x-1)-2/(x+1)+3/(2(x+1)^2)
[/mm]
Stimmt das jetzt?
Für die Aufgabenstellung kann ich ja nichts:)
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Moin,
> Ok, danke
> Ich hab dann für den am Ende raus:
> [mm]2ln(x-1)-2/(x+1)+3/(2(x+1)^2)[/mm]
> Stimmt das jetzt?
Nein, das stimmt nicht, da sind viele Vorzeichenfehler drin.
Richtig sollte es lauten:
[mm] \integral\frac{2x^2-2x+3}{(x-1)^3}dx=\integral\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{3}{(x-1)^3}dx=2\log(x-1)-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{2(x-1)^2}+C
[/mm]
> Für die Aufgabenstellung kann ich ja nichts:)
LG
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> Moin,
> > Ok, danke
> > Ich hab dann für den am Ende raus:
> > [mm]2ln(x-1)-2/(x+1)+3/(2(x+1)^2)[/mm]
> > Stimmt das jetzt?
> Nein, das stimmt nicht, da sind viele Vorzeichenfehler
> drin.
> Richtig sollte es lauten:
>
> [mm]\integral\frac{2x^2-2x+3}{(x-1)^3}dx=\integral\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{3}{(x-1)^3}dx=2\log(x-1)-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{2(x-1)^2}+C[/mm]
> > Für die Aufgabenstellung kann ich ja nichts:)
>
> LG
Wenn man die Lösung so schreibt:
[mm]\integral\frac{2x^2-2x+3}{(x-1)^3}dx\ =\ 2\ln|x-1|-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{2(x-1)^2}+C[/mm]
dann ist sie auch für x<1 (und nicht nur für x>1) gültig.
Das bedeutet aber nicht, dass man über die Polstelle
[mm] x_0=1 [/mm] hinweg integrieren kann.
Im Ergebnis könnte man zusammenfassen zu:
[mm]2\ln|x-1|-\frac{4\,x-1}{2\,(x-1)^2}+C[/mm]
LG Al-Chw.
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Könntet ihr mir sagen wo meine Fehler bzw. Vorzeichenfehler sind?
Die Stammfkt. von 2/(x-1) ist ja 2ln(x-1)
Die Stammfkt. von [mm] 2/(x-1)^2 [/mm] habe ich mittels Substitution berechnet:
[mm] 2\integral_{}^{} 1/(x+1)^2
[/mm]
sub. u=x+1
[mm] 2\integral_{}^{} 1/u^2
[/mm]
Die Stammfkt. von [mm] 1/u^2 [/mm] ist -1/u
-2/u+c zurück sub. -2/(x+1)
Dann habe ich die Stammfkt. von [mm] 3/(x+1)^3 [/mm] mittels Subst. gebildet:
3 [mm] \integral_{}^{} 1/(x+1)^3
[/mm]
sub. u=x+1
[mm] 3\integral_{}^{} 1/u^3 [/mm] Davon die Stammfkt. lautet [mm] -3/(2(x+1)^2
[/mm]
zurück sub. [mm] -3/2(x+1)^2
[/mm]
Daher habe ich dann [mm] 2ln(x-1)-2/x+1-3/(2(x+1)^2
[/mm]
Ich versteh nicht wie du immer auf x-1 kommst?
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> Könntet ihr mir sagen wo meine Fehler bzw.
> Vorzeichenfehler sind?
> Die Stammfkt. von 2/(x-1) ist ja 2ln(x-1)
Nimm hier eben besser $\ 2*ln|x-1|$ , damit die Lösung auch
im Bereich x<1 gültig wird !
> Die Stammfkt. von [mm]2/(x-1)^2[/mm] habe ich mittels Substitution
> berechnet:
> [mm]2\integral_{}^{} 1/(x+1)^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Weshalb jetzt plötzlich x+1 anstatt x-1 ??
Das ist wohl schon der hauptsächliche Fehler !
> sub. u=x+1
> [mm]2\integral_{}^{} 1/u^2[/mm]
> Die Stammfkt. von [mm]1/u^2[/mm] ist -1/u
> -2/u+c zurück sub. -2/(x+1)
> Dann habe ich die Stammfkt. von [mm]3/(x+1)^3[/mm] mittels Subst.
> gebildet:
> 3 [mm]\integral_{}^{} 1/(x+1)^3[/mm]
> sub. u=x+1
> [mm]3\integral_{}^{} 1/u^3[/mm] Davon die Stammfkt. lautet
> [mm]-3/(2(x+1)^2[/mm]
> zurück sub. [mm]-3/2(x+1)^2[/mm]
>
> Daher habe ich dann [mm]2ln(x-1)-2/x+1-3/(2(x+1)^2[/mm]
> Ich versteh nicht wie du immer auf x-1 kommst?
Und ich verstehe nicht, weshalb du aus dem ursprünglichen
Term x-1 plötzlich und ohne Grund x+1 gemacht hast !
LG
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Oki, ich weiß auch nicht wirklich warum ich daraus ein Plus gemacht habe.
Danke
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