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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Will diesen Bruch Partial-zerlegen, damit ich es integrieren kann.
[mm] \bruch{1}{(x-2)(x+3)} [/mm] |
Brauche Unterstützung bei der Partialbruchzerlgung.
Habe versucht an das Problem systematisch ranzugehen.
Könnt Ihr mal schauen, ob ich alles richtig umgesetzt habe?
Ansatz: Wikipedia (grün)
Vorausgesetzt wird hier, dass R * in der Form [mm] R^*(x)=\frac{Z^*(x)}{N^*(x)} [/mm] gegeben ist, wobei der Grad von Z * kleiner als der Grad des Nennerpolynoms N * ist und sämtliche Nullstellen von N * bekannt sind.
Das ist in meinem Beispiel erfüllt.
Sind, wie oben angenommen, die n verschiedenen Nullstellen xi und ihr jeweiliger Grad ri, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:
[mm] N^*(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot [/mm] ... [mm] \cdot(x-x_n)^{r_n}
[/mm]
Habe ich ebenfalls schon gemacht.
N^*(x) = (x-2)(x+3)
Zu beachten ist, dass einige der xi komplex sein können.
Ist bei mir nicht der Fall.
Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:
* Für jede einfache reelle Nullstelle xi enthält er einen Summanden [mm] \frac{a_{i1}}{x-x_i}
[/mm]
* Für jede ri-fache reelle Nullstelle xi enthält er ri Summanden [mm] \frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}
[/mm]
Bei Wikipedia unterscheidet man zwischen einer einfachen und einer mehrfachen Nullstelle.
In meinem Fall habe ich zwei unterschiedliche Nullstellen
Demnach sollte es bei mir so aussehen:
[mm] \bruch{a_{1}}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{a_{2}}{x+3}
[/mm]
Nun muss ich die Konstanten [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] bestimmen.
Bestimmung der Konstanten
Um die Konstanten aij, bij und cij zu ermitteln, wird R * mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom N * multipliziert.
[mm] \bruch{1}{(x-2)(x+3)} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{a_{2}}{x+3}
[/mm]
1 = [mm] a_{1}*(x+3) [/mm] + [mm] a_{2}*(x-2)
[/mm]
Links steht dann nur noch das Zählerpolynom Z * , rechts ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in x ist und entsprechend nach den Potenzen von x geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen.
1 = [mm] a_{1} [/mm] * (x+3) + [mm] a_{2} [/mm] * (x-2)
1 = [mm] (a_{1}+a_{2})*x [/mm] + [mm] 3a_{1} [/mm] - [mm] 2a_{2}
[/mm]
Nun folgt der Koeffizientenvergleich:
0 = [mm] (a_{1}+a_{2})*x [/mm]
0 = [mm] a_{1}+a_{2}
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] -a_{2}
[/mm]
1 = [mm] 3a_{1} [/mm] - [mm] 2a_{2}
[/mm]
1 + [mm] 2a_{2} [/mm] = [mm] 3a_{1} [/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}a_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
=> [mm] a_{1}=-5 [/mm] , [mm] a_{2}=5
[/mm]
Alternativ kann man bis zu g beliebige verschiedene Werte für x in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus g Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt.
Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.
Demnach wäre der zerlegte Bruch:
[mm] -\bruch{5}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{x+3}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{5}{x+3} -\bruch{5}{x-2} [/mm]
Nun kann ich ausklammern und integrieren
5*( ln|x+3| - ln|x-2| )
Jetzt noch das Logarithmusgesetzt für Subtraktion anwenden
[mm] 5*ln|\bruch{x+3}{x-2}| [/mm]
Stimmt es so?
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Hallo zoj,
> Will diesen Bruch Partial-zerlegen, damit ich es
> integrieren kann.
> [mm]\bruch{1}{(x-2)(x+3)}[/mm]
> Brauche Unterstützung bei der Partialbruchzerlgung.
> Habe versucht an das Problem systematisch ranzugehen.
>
> Könnt Ihr mal schauen, ob ich alles richtig umgesetzt
> habe?
>
> Ansatz: Wikipedia (grün)
>
>
> Vorausgesetzt wird hier, dass R * in der Form
> [mm]R^*(x)=\frac{Z^*(x)}{N^*(x)}[/mm] gegeben ist, wobei der Grad
> von Z * kleiner als der Grad des Nennerpolynoms N * ist und
> sämtliche Nullstellen von N * bekannt sind.
>
> Das ist in meinem Beispiel erfüllt.
>
> Sind, wie oben angenommen, die n verschiedenen Nullstellen
> xi und ihr jeweiliger Grad ri, so kann das Nennerpolynom
> auf folgende Form gebracht werden:
>
> [mm]N^*(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot[/mm] ...
> [mm]\cdot(x-x_n)^{r_n}[/mm]
>
> Habe ich ebenfalls schon gemacht.
> N^*(x) = (x-2)(x+3)
>
> Zu beachten ist, dass einige der xi komplex sein können.
>
> Ist bei mir nicht der Fall.
>
> Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:
>
> * Für jede einfache reelle Nullstelle xi enthält er einen
> Summanden [mm]\frac{a_{i1}}{x-x_i}[/mm]
>
> * Für jede ri-fache reelle Nullstelle xi enthält er ri
> Summanden
> [mm]\frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}[/mm]
>
>
> Bei Wikipedia unterscheidet man zwischen einer einfachen
> und einer mehrfachen Nullstelle.
>
> In meinem Fall habe ich zwei unterschiedliche Nullstellen
> Demnach sollte es bei mir so aussehen:
> [mm]\bruch{a_{1}}{x-2}[/mm] + [mm]\bruch{a_{2}}{x+3}[/mm]
> Nun muss ich die Konstanten [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] bestimmen.
>
>
> Bestimmung der Konstanten
>
> Um die Konstanten aij, bij und cij zu ermitteln, wird R *
> mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem
> Nennerpolynom N * multipliziert.
>
>
> [mm]\bruch{1}{(x-2)(x+3)}[/mm] = [mm]\bruch{a_{1}}{x-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{a_{2}}{x+3}[/mm]
>
> 1 = [mm]a_{1}*(x+3)[/mm] + [mm]a_{2}*(x-2)[/mm]
>
>
> Links steht dann nur noch das Zählerpolynom Z * , rechts
> ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein
> Polynom in x ist und entsprechend nach den Potenzen von x
> geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken
> und rechten Seite ergibt dann ein lineares
> Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten
> berechnen lassen.
>
>
> 1 = [mm]a_{1}[/mm] * (x+3) + [mm]a_{2}[/mm] * (x-2)
> 1 = [mm](a_{1}+a_{2})*x[/mm] + [mm]3a_{1}[/mm] - [mm]2a_{2}[/mm]
>
> Nun folgt der Koeffizientenvergleich:
> 0 = [mm](a_{1}+a_{2})*x[/mm]
> 0 = [mm]a_{1}+a_{2}[/mm]
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]-a_{2}[/mm]
>
> 1 = [mm]3a_{1}[/mm] - [mm]2a_{2}[/mm]
> 1 + [mm]2a_{2}[/mm] = [mm]3a_{1}[/mm]
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}a_{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> => [mm]a_{1}=-5[/mm] , [mm]a_{2}=5[/mm]
>
>
> Alternativ kann man bis zu g beliebige verschiedene Werte
> für x in diese Gleichung einsetzen, was wie der
> Koeffizientenvergleich zu einem aus g Gleichungen
> bestehenden linearen Gleichungssystem führt.
>
> Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert
> werden.
>
>
> Demnach wäre der zerlegte Bruch:
> [mm]-\bruch{5}{x-2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{x+3}[/mm]
> oder
> [mm]\bruch{5}{x+3} -\bruch{5}{x-2}[/mm]
>
Die Partialbruchzerlegung lautet doch so:
[mm]\bruch{1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=\bruch{\red{1/5}}{x+3} -\bruch{\red{1/5}}{x-2}[/mm]
> Nun kann ich ausklammern und integrieren
> 5*( ln|x+3| - ln|x-2| )
> Jetzt noch das Logarithmusgesetzt für Subtraktion
> anwenden
>
> [mm]5*ln|\bruch{x+3}{x-2}|[/mm]
Demnach muss hier stehen:
[mm]\bruch{1}{5}*ln|\bruch{x+3}{x-2}|[/mm]
>
> Stimmt es so?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
Habe in der Rechnung einen Fehler gemacht.
Demnach ist jetzt
=> $ [mm] a_{1}=-\bruch{1}{5} [/mm] $ , $ [mm] a_{2}=\bruch{1}{5} [/mm] $
und damit:
$ [mm] \bruch{1}{5}\cdot{}ln|\bruch{x+3}{x-2}| [/mm] $
Stimmt es so?
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Hallo zoj,
> Habe in der Rechnung einen Fehler gemacht.
Jo
>
> Demnach ist jetzt
> => [mm]a_{1}=-\bruch{1}{5}[/mm] , [mm]a_{2}=\bruch{1}{5}[/mm]
> und damit:
> [mm]\bruch{1}{5}\cdot{}ln|\bruch{x+3}{x-2}|[/mm]
>
> Stimmt es so?
Ja, aber das hat Mathepower doch in seiner Antwort oben festgestellt ...
Gruß
schachuzipus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 11.03.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Hilfe!
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