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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Fr 03.09.2010
Autor: zocca21

Aufgabe
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2(x^2+1)} dx} [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{x^2(x^2+1)} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{A}{x^2}} [/mm] +  [mm] \integral{\bruch{Bx+C}{x^2 +1}} [/mm]

Ich denke der Ansatz sollte stimmen.

Nun komme ich aber nicht auf die Koeffizienten. Ich habe gelernt es gibt 2 Methoden:
1. Die Zuhaltemethode: Mit dieser bin ich auch auf A=1 gekommen aber weiß nicht wie das nun bei B und C schaffe..

2. durchmultiplizieren:

1 = [mm] Ax^2 [/mm] + A + [mm] Bx^3 [/mm] + [mm] Cx^2 [/mm] wobei ich auch wieder auf A=1 kommen würde..aber mit dem Rest kann ich nicht viel anfangen.

Wie gehe ich hier vor um meine Koeffizienten zu berechnen?

Vielen Dank

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: doppelte Nullstelle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 03.09.2010
Autor: Loddar

Hallo zocca!


Bedenke, dass Du bei [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] eine doppelte Nullstelle des Nenners vorliegen hast, so dass der korrekte Ansatz der MBPartialbruchzerlegung lautet:

[mm]\bruch{1}{x^2*\left(x^2+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{x^2+1}[/mm]

Gruß
Loddar




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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Fr 03.09.2010
Autor: zocca21

Stimmt, dann komme ich zwar auf B=1 aber die Anderen bekomm ich nicht raus. Wieder das oben geschilderte Problem für mich.

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Fr 03.09.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Stimmt, dann komme ich zwar auf B=1 aber die Anderen bekomm
> ich nicht raus. Wieder das oben geschilderte Problem für
> mich.

Gemäß Loddar' Ansatz

[mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}\left(x^2+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C\cdot{}x+D}{x^2+1}[/mm]

ist , um die Koeffizienten A,B,C,D herauszubekommen,
ein []Koeffizientenvergleich durchzuführen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Fr 03.09.2010
Autor: zocca21

Habs...Danke ;)

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Fr 03.09.2010
Autor: abakus

Hallo,
relativ weithin bekannt ist die Tatsache, dass die Differenz zweier benachbarter Stammbrüche [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} [/mm] gerade [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] ergibt.
Auf dieser Grundlage lässt sich [mm] \bruch{1}{x^2(x^2+1)} [/mm] sehr leicht als Differenz zweier einfacherer Brüche ausdrücken.
Gruß Abakus

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