Partialbruchzerlegung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
ich muss für eine Laurent-Reihenentwicklung die Partialbruchzerlegung bestimmen von:
f(z) = [mm] \bruch{6}{z(z+1)(z-2)} [/mm] z [mm] \not\in [/mm] -1,0,2
ich habe zu Bruch:
[mm] \bruch{1}{z(z-1)(z-2)} [/mm] die Partialbruchzerlegung gefunden:
[mm] \bruch{1}{2z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(z-2)}
[/mm]
ist meine gewünschte Funktion eine bekannte Funktion, bei der ich die Partialzerlegung irgendwo nachschlagen kann?
Hoffe jemand weiß mehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die partialbruchzerlegung macht man eigentlich immer ohne "Nachschlagen".
Du setzt einfach an:$ [mm] \bruch{6}{z(z+1)(z-2)}= \bruch{A}{z}+\bruch{B}{(z+1)}+ \bruch{C}{(z-2)} [/mm] $
und bestimmst A,B,C durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen von 3 Werten. meist geht das schneller als es zufällig irgendwo finden.
Gruss leduart
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ja,
dann habe ich
6 = A [mm] (z^2-z-2) [/mm] + B [mm] (z^2-2z) [/mm] + C [mm] (z^2+z)
[/mm]
wie bestimme ich da A,B,C?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 17.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Butterbrot!
Fasse auf der rechten Seite zusammen (Klammern ausmultiplizieren) und sortiere nach den einzelnen Potenzen [mm] $z^2$ [/mm] , [mm] $z^1$ [/mm] und [mm] $z^0$ [/mm] .
Bedenke, dass gilt:
$$6 \ = \ [mm] 0*z^2+0*z^1+6*z^0$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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ok,
dann erhalte ich
6 = [mm] z^2(A [/mm] + B + C) + z(C - A - 2B) + [mm] z^0(-2A)
[/mm]
da erhlate ich da dann A = -3
mit den beiden anderen Gleichungen B = 0 & C = 3
erhalte ich dann:
6 = [mm] \bruch{-3}{z} [/mm] + [mm] \bruch{3}{z-2}
[/mm]
ist das möglich, dass ein Bruch verschwindet, oder habe ich einen Fehler?
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Hallo, B und C sind nicht korrekt, der Koeffizientenvergleich ergibt
für [mm] z^{2}: [/mm] A+B+C=0
für [mm] z^{1}: [/mm] -A-2B+C=0
für [mm] z^{0}: [/mm] -2A=6
A=-3 hast du, setze jetzt A in die ersten beiden Gleichungen ein,
-3+B+C=0
-(-3)-2B+C=0
jetzt sollten B und C kein Problem mehr sein
Steffi
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ok, hatte bei dem GS einen Vorzeichenfehler.
ich erhalte am ende:
[mm] \bruch{-3}{z} [/mm] + [mm] \bruch{2}{z+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z-2}
[/mm]
so, jetzt muss ich daraus die Laurentreihen entwickeln.
die beiden äußeren bekomme ich hin, jedoch bei dem Bruch [mm] \bruch{2}{z+1} [/mm] habe ich Probleme. Wie erhalte ich daraus eine Laurentdarstellung der Reihe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 19.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Laurentreihen konvergieren immer auf Kreisradien.
Um welches [mm] z_{0} [/mm] denn herrum...?
Gruss
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Um den Nullpunkt herum, [mm] z_{0}=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also wenn [mm] z_{0} [/mm] = 0, dann kann man [mm] \bruch{2}{z + 1} [/mm] eigentlich zimlich leicht entwickeln:
Wie man [mm] \bruch{2}{1 - z } [/mm] entwickelt ist dir ja sicher klar...
Jetzt kannst du [mm] \bruch{2}{z + 1} [/mm] als [mm] \bruch{2}{1 - (-z)} [/mm] schreiben.
Hilft das?
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naja, nicht wirklich
[mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] ist ja [mm] \bruch{1}{z(1-\bruch{1}{z})} [/mm] und da kann ich dann wieder meine Reihe daraus formulieren.
aber bei [mm] \bruch{1}{z-(-1)} [/mm] erhalte ich ja, wenn ich erneute z ausklammere [mm] \bruch{1}{z(1-(-\bruch{1}{z}))}, [/mm] aber das kann ich ja nicht wieder als Reihe formulieren. oder wie ist dieses möglich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 20.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Butterbrot!
Zum einen: warum sollte es hier anders sein mit der Reihenentwicklung?
Zum anderen: oben stand eine etwas andere Umformung mit:
[mm] $$\bruch{2}{1+z} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{1}{1-(-z)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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ich sehe das Problem, dass die Reihe im Nenner divergiert, auch im internet finde ich nichts zu Beispielen mit z+1 im Nenner. Immer nur Beispiel mit z-1 o.ä.
der konstante Faktor kann doch erstmal vernachlässigt werden, ich habe Probleme diese Reihe aufzustellen.
Kann mir keiner da weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
... = 2 * [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} (-z)^{n} [/mm] für |z| < 1
und
... = [mm] 2*\bruch{1}{z}*\summe_{n = 0}^{\infty} (-\bruch{1}{z})^{n} [/mm] für |z| > 1
fertig.
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