Partialbruchzerlegung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{z^2+4}{z^2-4} [/mm] |
Hallo,
habe folgendes versucht bei dieser Aufgabe, weiß jedoch nicht, ob es richtig ist.
erstmal Polynomdivision:
[mm] (z^2+4):(z^2-4) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{8}{z^2-4}
[/mm]
[mm] -(z^2-4)
[/mm]
_______
8
jetzt habe ich folgendes gemacht:
da z = [mm] \pm [/mm] 2 Polstellen der Funktion sind
[mm] \Rightarrow \bruch{8}{z^2-4} =\bruch{a}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 8 = a(z-2) + b(z+2)
[mm] \Rightarrow [/mm] 8 = (a+b)z + (-2a+2b)
Koeffizientenvergleich:
(I) a+b = 0
(II) -2a+2b = 8
[mm] \Rightarrow [/mm] a = -2 [mm] \wedge [/mm] b= 2
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] \bruch{8}{z^2-4} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2}{z-2}-\bruch{2}{z+2}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus ;)
Gruß, Gratwanderer
|
|
| |
|
Hiho,
wozu die Polynomdivision zu beginn?
Mach doch gleich eine Partialbruchzerlegung....
mFG
Gono.
|
|
|
| |
|
Ist das Ergebnis denn richtig?
Wie würde das denn aussehen, wenn man direkt die Partialbruchzerlegung macht?
[mm] \bruch{z^2+4}{z^2-4} [/mm] = [mm] \bruch{a}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z^2+4 [/mm] = a(z-2) + b(z+2)
[mm] \Rightarrow z^2+4 [/mm] = z(a+b) + (-2a+2b)
Koeff.-Vergleich:
a+b = z [mm] \Rightarrow [/mm] a = z-b
-2a+2b = 4 [mm] \Rightarrow [/mm] -2z+2b+2b = 4 [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] 1+\bruch{z}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{z-(1+\bruch{z}{2})}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{1+\bruch{z}{2}}{z-2}
[/mm]
Ist dieser Ansatz richtig?
|
|
|
| |
|
> [mm]\Rightarrow \bruch{z-(1+\bruch{z}{2})}{z+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1+\bruch{z}{2}}{z-2}[/mm]
[mm] $=\bruch{\bruch{z}{2} - 1}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{z}{2} + 1}{z-2}$
[/mm]
> Ist dieser Ansatz richtig?
Mach doch die Probe, indem du wieder zusammenfasst 
Kannst du alles prima selbst prüfen.
Das gilt auch für deine erste Lösung, wenn du da alles richtig gemacht hast, sollte da auch was richtiges rauskommen, aber auch da gilt: Probe machen indem du wieder zusammenfasst.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Scheint zu stimmen 
Vielen Dank für deine Hilfe!!
|
|
|
|
