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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 07.07.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | f: D [mm] \mapsto \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \bruch{x²+x-1}{x³+x}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f! |
Hallo, von der oben genannten Funktion soll ich eine Stammfunktion bestimmen.
Habe Partialbruchzerlegung druchgeführt, und laut Lösung auch das richtige Ergebnis:
f(x)= -1/x + [mm] \bruch{2x+1}{(x²+1)}
[/mm]
Jetzt muss ich diese Funktion integrieren.
Für den ersten Term (-1/x) ist die Aufleitung ja bekanntlich -ln|x|, aber beim zweiten Teil denke ich das ich jetzt substituieren muss,...
also: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{(x²+1)} dx}
[/mm]
aber das kriege ich nicht hin. Wäre nett wenn mir da jemand nen tipp geben könnte wie ich hier substituieren kann und wie ich allgemein etwas passendes für die substitution finde.
greetz und danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Teile doch dein Integral zuerst auf:
[mm] \integral{\bruch{2x}{x^2+1}}+\integral{\bruch{1}{x^2+1}}
[/mm]
Beim 1. Integral [mm] x^2+1=u [/mm] substituieren, beim 2. ist die Stammf. doch arctan(x)..
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 07.07.2008 | | Autor: | marder |
Die frage ist was nützt mir das dann hab ich da nen integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x}{x²+1} dx} [/mm] stehen; wenn ich dann x²+1= u setze was muss denn dann in den nenner? ne wurzel?
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Hallo marder!
Das gibt jetzt wohl eine Doppelantwort(schachuzipus ist grad dabei). Entschuldigung!
[mm] x^2+1=u
[/mm]
Dann musst du noch dx substituieren:
[mm] \bruch{du}{dx}=2x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
Also steht:
[mm] \integral{\bruch{2x}{u}*\bruch{du}{2x}}
[/mm]
Das kürzt sich und es steht:
[mm] \integral{\bruch{du}{u}}
[/mm]
Das kannst du nun logarithmisch Integrieren und dann resubst.
Ergebniss: [mm] ln|x^2+1|+C
[/mm]
Gruß
Angelika
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Hallo marder,
zerlege den letzten Bruch noch weiter:
[mm] $\frac{2x+1}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
Wenn du nun integrierst, ist das Integral des ersten Bruchs ein logarithmisches, also eines, das im Zähler genau die Ableitung des Nenners stehen hat, also von der Form [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Und das hat bekanntlich als Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|+c$
[/mm]
Dass das stimmt, kannst du zu Fuß über die Substitution $u:=f(x)$ nachrechnen.
Mit diesem allg. Fall kannst du dann auch dein spezielles Integral [mm] $\int{\frac{2x}{x^2+1} \ dx}$ [/mm] erschlagen
Bleibt [mm] $\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
Das ist ein Standardintegral und findet sich in jeder Formelsammlung, Stammfunktion [mm] $\arctan(x)+c$
[/mm]
Wenn du das zu Fuß berechnen willst, substituiere [mm] $x:=\tan(u)$
[/mm]
Bei diesen Integralen von gebrochenrationalen Funktionen, bei denen du eine PBZ machst, bekommst du eigentlich immer Ausdrücke mit [mm] $\ln$ [/mm] und [mm] $\arctan$
[/mm]
Lohnenswert zu merken, ist das logarithmische Integral, da es oft vorkommt und dir im konkreten Fall eine Substitution erspart 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mo 07.07.2008 | | Autor: | marder |
ahh ja versteh ich jetzt, hab wohl den wald vor lauter bäumen nicht gesehen,...
wie läuft das denn mit der substitution bei nem integral wie
[mm] \integral_{}^{}{x*sinh(x²) dx}???
[/mm]
ich hab das mit partieller integration ausprobiert, komm aber nicht wirklich auf ein ergebnis?!
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Hallo nochmal,
> ahh ja versteh ich jetzt, hab wohl den wald vor lauter
> bäumen nicht gesehen,...
>
> wie läuft das denn mit der substitution bei nem integral
> wie
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*sinh(x²) dx}???[/mm]
>
> ich hab das mit partieller integration ausprobiert, komm
> aber nicht wirklich auf ein ergebnis?!
Partielle Integraltion ist auch nicht so prickelnd hier.
Hier bringt dich die Substitution [mm] $u:=x^2$ [/mm] blitzschnell ans Ziel ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mo 07.07.2008 | | Autor: | marder |
Tausend Dank! Ich habs Prinzip jetzt kapiert! Danke
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