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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{x^3}{x^2-3x+2} dx} [/mm] |
Hallo allerseits!
Ich bin bei dieser Aufgabe sehr verunsichert, denn ich habe mit Derive nachgerechnet und es kommt was anderes heraus...Verstehe aber nicht, was ich falsch gemacht habe. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Könnte mir bitte jemand bei der Korrektur helfen?
Meine Überlegung:
Nullstellen(Durch Zerlegung in Linearfaktoren): [mm] x_1=1 x_2=2
[/mm]
[mm] \bruch{x^3}{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-2}
[/mm]
[mm] x^3=A(x-2)+B(x-1)
[/mm]
Einsetzen:
[mm] x_0=1 [/mm] 1=A(-1)+B*0 A=-1
[mm] x_0=2 [/mm] 8=A*0+B(1) B= 8
[mm] -\integral{\bruch{dx}{x-1}}+8*\integral{\bruch{dx}{x-2}}
[/mm]
So erhalte ich durch logarithmische Integration die Stammfunktionen:
[mm] ln|\bruch{(x-2)^8}{x-1}|+C
[/mm]
Derive errechnet aber:
[mm] 8*ln|(x-2)|-ln|(x-1)|+\bruch{x^2}{2}+3x+C
[/mm]
Ich bin ratlos.....
Vielen Dank im Voraus!
Gruß 
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Sa 28.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo AbraxasRishi,
wir habe immer erst geschaut ob die funktion echt oder unecht gebrochen ist.
Den die Integration durch PBZ kannst du nur auf die echt gebrochenenrationalen Anteil durchführen ...
sprich wo die nenner potenz höcher ist als die vom Zähler
fals das der fall ist wir zb duch polynomdivision der ganzrationaler anteil gewohnen...
in deimen fall ist hier die höchste Zahler potenz 3, und die vom Nenner 2 . dh Polynom division
dann erhälst du $ [mm] x^{3}:{x^2-3x+2} [/mm] = [mm] \blue{x + 3} [/mm] + [mm] \red{\bruch{7x - 6 }{x^2-3x+2}}$
[/mm]
hier kannst du nun 2 integrale aufstellen :
$ [mm] \integral{\bruch{x^3}{x^2-3x+2} dx} [/mm] = [mm] \integral{x+ 3 dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{7x-6}{x^2-3x+2} dx}$
[/mm]
und erst jetzt darfst du normal die PBZ auf dem roten teil anwenden.
mfg
masa
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Hallo masa-ru!
Du hast mir sehr geholfen!Vielen Dank! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Wusste nicht, dass man zwischen echten und unechten gebrochen-rationalen Funktionen unterscheiden muss.
Gruß
Angelika
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