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Partialbruchzerlegung: Tipp / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mi 02.04.2008
Autor: Biboo

Aufgabe
Partialbruchzerlegung ausführen:
Aufgabe: [mm] \bruch{x^{3}-3x^{2}+6x-1}{(x-1)^{2}(x-2)} [/mm]

Okay, also mein Problem ist quasi ganz am Ende, ich rechne mal bis dahin vor:

Polynomdivision ergibt:
[mm] 1+\bruch{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}(x-2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{x-2}+1 [/mm]        !! (Hab den Fehler gerade noch gesehen...)

Erster Schritt: ... |* (x-2)
setze x=2

=> [mm] \bruch{x^{2}+x+1} {(x-1)^{2}} [/mm] = C = 7

Zweiter Schritt: [mm] ...|*(x-1)^{2} [/mm]

=> [mm] \bruch{x^{2}+x+1}{x-2} [/mm] = xA-A+B

setze x=1

=> B=-3

Und jetzt kommt mein Problem:

setze x=-1

[mm] \bruch{(-1)^{2}+(-1)+1}{(-1-2)}= [/mm] -2A+B


[mm] \bruch{1}{-3}=-2A-3 |+\bruch{9}{3} [/mm] |:(-2)

A= [mm] \bruch{8}{6}=\bruch{4}{3} [/mm]


In der Lösung kommt für A allerdings -6 raus. B und C sind richtig, also was mache ich beim letzten Schritt falsch?

Danke im Voraus für eure Hilfe!

Achja, das +1 kann ich mir ja sparen, da es auf beiden Seiten steht und somit ja für das Lösen von A,B und C unbedeutsam ist. Im Ergebnis muss es natürlich stehen ;)

Grüße Biboo



        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mi 02.04.2008
Autor: Somebody


> Partialbruchzerlegung ausführen:
>  Aufgabe: [mm]\bruch{x^{3}-3x^{2}+6x-1}{(x-1)^{2}(x-2)}[/mm]
>  
> Okay, also mein Problem ist quasi ganz am Ende, ich rechne
> mal bis dahin vor:
>  
> Polynomdivision ergibt:
> [mm]1+\bruch{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}(x-2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{x-2}[/mm]
>  
> Erster Schritt: ... |* (x-2)
>  setze x=2
>  
> => [mm]\bruch{x^{2}+x+1} {(x-1)^{2}}[/mm] = C = 7

Etwas sehr abgekürzte Schreibweise: Du hast natürlich $x=2$ gesetzt.

>  
> Zweiter Schritt: [mm]...|*(x-1)^{2}[/mm]
>  
> => [mm]\bruch{x^{2}+x+1}{x-2}[/mm] = xA-A+B

Weshalb Du hier zwar $C$ (richtigerweise) gar nicht mehr aufführst, $A$ aber noch immer mitschleppst, ist mir überhaupt nicht klar. $A(x-1)$ ist genauso $0$ wie [mm] $C(x-1)^2/(x-2)$ [/mm] sofern man $x=1$ setzt.

>  
> setze x=1
>  
> => B=-3
>  
> Und jetzt kommt mein Problem:
>  
> setze x=-1

Was ist die Idee bei dieser Einsetzung? Du hast von den drei zu bestimmenden Konstanten $A,B,C$ doch bereits zwei bestimmt ($B$ und $C$). Also kannst Du irgend einen Wert für $x$, der nicht gerade $1$ oder $2$ ist, und für $B$ und $C$ die gefundenen Werte einsetzen: ergibt eine Gleichung in der nur noch $A$ auftritt.


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Mi 02.04.2008
Autor: Biboo

Ohh nein. Wieder soviel Zeit bei einem kleinen Denkfehler verschwendet. Danke für deine Anwort.

Mein "kluger" Denkfehler: Nullstellen von [mm] (x-1)^{2} [/mm] bei 1 und -1 ... Jetzt versteh ich auch deine Verwirrung bei dem Schritt wo ich das A noch mitschleppe... da bin ich noch von den oben genannten Nullstellen ausgegangen, was hieße dass C bei x=1 und x=-1 raufällt...A aber nicht...

Was so ein kleiner Denkfehler ausmachen kann... ich trink nicht mehr soviel Kaffee *g*

Also danke für deine Hilfe, hab alles gecheckt.

Bezug
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