Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 So 06.01.2008 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Berechne mittels Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2} dx} [/mm] |
Hallo!
Habe erstmal Polynomdivision gemacht:
[mm] (x^3-3x^2+4):(x+1)=(x^2-4x+4)
[/mm]
Dann die zweite Nullstelle berehcnen:
Nullstellen: [mm] N_1(-1 [/mm] | 0)
[mm] N_2(2 [/mm] | 0 ) Doppelte Nullstelle
[mm] \bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x-2}
[/mm]
mit x=-1 folgt dann =>1/3=A
aber dann das Problem:
mit x=2 erhalte ich -3=0
Dass da was nicht stimmen kann sieht man ja, aber wo liegt der Fehler?
Danke für die Hilfe!
Mfg ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 So 06.01.2008 | | Autor: | ONeill |
> [mm]\bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x-2}[/mm]
Es muss natürlich heißen:
[mm]\bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}[/mm]
Das ändert aber nichts an dem Problem!
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> >
> [mm]\bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x-2}[/mm]
> Es muss natürlich heißen:
>
> [mm]\bruch{x^2+x-9}{x^3-3x^2}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}[/mm]
> Das ändert aber nichts an dem Problem!
Du vertust dich: Entweder heißt dein Nenner [mm] x^3-3x^2+4 [/mm] oder du kannst nicht durch x+1 ohne Rest dividieren, da [mm] x^3-3x^2=x^2(x-3) [/mm] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 So 06.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
meines Wissens nach muss es heißen:
[mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}, [/mm] da x=2 doppelte Nullstelle.
Du hast dich auch irgendwo verschrieben:
Meinst du:
> Berechne mittels Partialbruchzerlegung:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^2+x-9}{\red{x^3-3x^2}} dx}[/mm]
Warum aber machst du berechnest du dann
> Habe erstmal Polynomdivision gemacht:
> [mm]\red{(x^3-3x^2+4)}:(x+1)=(x^2-4x+4)[/mm]
nehme an, du hast dich einfach verschrieben.
Habe es mal nachgerechnet (deswegen hat es länger gedauert  )und für
[mm] \bruch{x^2+x-9}{\red{x^3-3x^2+4}}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}
[/mm]
gehts so auf.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 06.01.2008 | | Autor: | ONeill |
[mm]\bruch{x^2+x-9}{\red{x^3-3x^2+4}}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}[/mm]
>
> gehts so auf.
Hallo Barsch!
Ja ich habe mich verschrieben, so wie du das gerechnet hast, habe ich das auch. Dann wird mit den Nennern ja multipliziert, dann steht da:
[mm] x^2+x-9=A(x-2)^3+B(x+1)(x-2)^2+C(x+1)(x-2)
[/mm]
So nun setze ich ein:
x=-1 =>A=1/3
Und jetzt nochmal das Problem, welches immer noch das selbe ist:
x=2 [mm] =>4+2-9=A(2-2)^2+B(2+1)(2-2)^2+C(2+1(2-2)
[/mm]
-3=0
Wie gehts weiter?
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
>
> [mm]\bruch{x^2+x-9}{\red{x^3-3x^2+4}}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{(x-2)^2}[/mm]
> >
> > gehts so auf.
> Hallo Barsch!
> Ja ich habe mich verschrieben, so wie du das gerechnet
> hast, habe ich das auch. Dann wird mit den Nennern ja
> multipliziert, dann steht da:
>
> [mm]x^2+x-9=A(x-2)^3+B(x+1)(x-2)^2+C(x+1)(x-2)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du einen Faktor $(x-2)$ auf der rechten Seite zuviel:
[mm]x^2+x-9=A(x-2)^{\red{2}}+B(x+1)(x-2)^{\red{1}}+C(x+1)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 06.01.2008 | | Autor: | ONeill |
> > [mm]x^2+x-9=A(x-2)^3+B(x+1)(x-2)^2+C(x+1)(x-2)[/mm]
>
>
>
> Da hast du einen Faktor [mm](x-2)[/mm] auf der rechten Seite
> zuviel:
>
> [mm]x^2+x-9=A(x-2)^{\red{2}}+B(x+1)(x-2)^{\red{1}}+C(x+1)[/mm]
>
Hallo Rainer!
Das versteh ich nicht, ich denke schon, dass die Rechnung soweit richtig is. Ich multipliziere erst mit (x-2) und dann nochmal mit [mm] (x-2)^2...
[/mm]
Aber selbst wenn, bleibt das Problem noch bestehen, trotzdem danke für deine Hilfe.
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 So 06.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> > > [mm]x^2+x-9=A(x-2)^3+B(x+1)(x-2)^2+C(x+1)(x-2)[/mm]
> >
> >
> >
> > Da hast du einen Faktor [mm](x-2)[/mm] auf der rechten Seite
> > zuviel:
> >
> > [mm]x^2+x-9=A(x-2)^{\red{2}}+B(x+1)(x-2)^{\red{1}}+C(x+1)[/mm]
> >
> Hallo Rainer!
> Das versteh ich nicht, ich denke schon, dass die Rechnung
> soweit richtig is. Ich multipliziere erst mit (x-2) und
> dann nochmal mit [mm](x-2)^2...[/mm]
Nein, du multiplizierst mit [mm] $x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2$, [/mm] also erst mit $(x+1)$ und dann mit [mm](x-2)^2[/mm].
Dann hast du
[mm] $x^2+x-9=A \bruch{(x+1)(x-2)^2}{x+1} [/mm] + B [mm] \bruch{(x+1)(x-2)^2}{x-2} [/mm] +C [mm] \bruch{(x+1)(x-2)^2}{(x-2)^2}=A(x-2)^{2}+B(x+1)(x-2)^{1}+C(x+1)$
[/mm]
Wenn du x=-1 einsetzt, bekommst du A=-1, mit x=+2 folgt C=-1, und x=0 führt zu B=2.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 08.01.2008 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Berechne mittels Partialbruchzerlegeung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2+3}{x^3+x^2+x+1} dx} [/mm] |
Hallo!
Vielen Dank für die Hilfe Rainer, nun hab ichs verstanden und das passende Ergebnis. Bei einer neuen Aufgabe habe ich wieder Probleme.
1. Nullstellen des Nenners such:
Dazu 1. Nullstelle raten=<(-1 / 0)
Polynomdivision:
[mm] (x^3+x^2+x+1):(x+1)=(x^2+1)
[/mm]
Weitere Nullstellen berechnen:
[mm] 0=x^2-1
[/mm]
Da erhalte ich nun imaginäre Nullstelle, sol ich mit denen auch wirklich rechnen?
Habe das ganze mal bis zum Schluss durchgerechnet und gehofft das i bzw -i hebt sich irgendwie wieder raus, das ist jedoch nicht der Fall, wie soll ich hier vorgehen?
Danke,
ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ONeill!
Da musst Du Dich aber vertan haben. Hier liegen keine imaginären Nullstellen des Nenners vor.
Denn [mm] $x^2-1 [/mm] \ = \ 0$ hat doch die beiden reellen Lösungen [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ 1$ .
Damit ergibt sich folgende  Partialbruchzerlegung:
[mm] $$\bruch{x^2+3}{x^3+x^2+x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+3}{(x-1)*(x+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{(x+1)^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loddar |
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Na toll, da habe ich ja wirklich tief und fest geschlafen ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
Loddar
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Hallo ONeill, hallo Loddar,
doch doch, der Nenner hat komplexe Nullstellen, O'Neill hat es ja auch richtig per Polynomdivision ausgerechnet, dann aber falsch abgeschrieben 
Es ist [mm] $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)=(x+1)(x+i)(x-i)$
[/mm]
Zur PBZ:
Du hast im Prinzip 2 Möglichkeiten, entweder rechnest du es komplex aus mit dem Ansatz
[mm] $\frac{x^2+3}{x^3+x^2+x+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+i}+\frac{C}{x-i}$
[/mm]
oder du nimmst zum Rechnen im Reellen den Ansatz:
[mm] $\frac{x^2+3}{x^3+x^2+x+1}=\frac{A}{x+1}+\red{\frac{Bx+C}{x^2+1}}$ [/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 09.01.2008 | | Autor: | ONeill |
Viele Dank für die große Hilfe!
Mfg ONeill
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