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Partialbruchzerlegung: warum Subtraktion?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Fr 10.03.2006
Autor: nieselfriem

Bei einer Partialbruchzerlegung wird angeben
[mm] \bruch{2}{n^2-1}=\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1} [/mm]
sollte es nicht
[mm] \bruch{2}{n^2-1}=\bruch{1}{n-1}+\bruch{1}{n+1} [/mm]
wenn ich im irtum liege dann bitte eine erklärung warum?

Gruß niesel

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Fr 10.03.2006
Autor: Roadrunner

Hallo nieselfriem!


Bei dem eigentlichen Ansatz der Partialbruchzerlegung wird natürlich addiert:

[mm] $\bruch{2}{n^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{(n-1)*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n-1} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{B}{n+1}$ [/mm]


Aber bei der Ermittlung der Koeffizienten $A_$ und $B_$ entsteht als Ergebnis $A \ = \ +1$ sowie $B \ =  \ [mm] \red{-}1$ [/mm] , daher also das Minuszeichen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Fr 10.03.2006
Autor: nieselfriem

kannst du mir mal erläutern wie du drauf gekommen bist.
Alos ich habe es bis jetzt so gemacht.

[mm] \bruch{A}{x+1}+ \bruch{B}{x-1}= \bruch{2}{x^2-1} [/mm]
und habe es mit [mm] x^2-1 [/mm] erweitert
und komme dann auf A2-A+B2-B=2
bzw. (A+B)2+B-A=2. Und nun komm ich nicht weiter.

Gruss niesel


Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Fr 10.03.2006
Autor: Walde

Hi niesel,
ausgehend von [mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-1}=\bruch{2}{x^2-1} [/mm]
bekommst du nach dem Erweitern
A(x-1)+B(x+1)=2, also
x(A+B)-A+B=2.
Vergleichst du nun die rechte und die linke Seite (Koeffizientenvergleich),d.h. allgemein, du vergleichst die Koeffizienten bei [mm] x^n, x^{n-1} [/mm] auf beiden Seiten (bei diesem Beispiel gibt es auf der rechten Seite nur bei [mm] x^0 [/mm] einen Koeffizienten der ungleich Null ist,nämlich 2) , usw, dann siehst du, dass:
A+B=0 und -A+B=2, das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, und du kommst auf A=-1 und B=1 und somit auf
[mm] \bruch{-1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}=\bruch{2}{x^2-1} [/mm]
L G, walde

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