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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Do 21.12.2017 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich soll die PBZ der Funktion $f(x) = [mm] \frac{5x-10}{2x^2-7x+3}$ [/mm] bestimmen.
Als Nennernullstellen habe ich 3 und 0,5 berechnet.
Damit habe ich folgenden Ansatz gewählt:
[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{A_1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{A_2}{x-0,5} [/mm] = [mm] \frac{A_1(x-0,5)}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] + [mm] \frac{A_2(x-3)}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] = [mm] \frac{A_1x - 0,5A_1 + A_2x-3A_2}{(x-3)(x-0,5)} [/mm] = [mm] \frac{(A_1+A_2)x - (0,5A_1 + 3A_2)}{(x-3)(x-0,5)}$
[/mm]
Nach Koeffizientenvergleich und LGS lösen erhalte ich folgende Zerlegung:
[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{2}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{3}{x-0,5}$
[/mm]
Ein Online-Rechner spuckt mir jetzt folgenden Ergebnis aus:
[mm] $\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} [/mm] = [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{3}{2x-1}$
[/mm]
Die Nennernullstellen sind ja die gleichen, aber ich dachte, man macht im Nenner immer "x - NST".
Welcher Ansatz und welches Ergebnis stimmen jetzt (und warum?)?
Danke schonmal!
VG, Nadine
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Hallo,
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> Ich soll die PBZ der Funktion [mm]f(x) = \frac{5x-10}{2x^2-7x+3}[/mm]
> bestimmen.
>
> Als Nennernullstellen habe ich 3 und 0,5 berechnet.
Die sind schonmal korrekt (aber das weißt du ja dank dem Online-Rechner). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit habe ich folgenden Ansatz gewählt:
>
> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{A_1}{x-3} + \frac{A_2}{x-0,5} = \frac{A_1(x-0,5)}{(x-3)(x-0,5)} + \frac{A_2(x-3)}{(x-3)(x-0,5)} = \frac{A_1x - 0,5A_1 + A_2x-3A_2}{(x-3)(x-0,5)} = \frac{(A_1+A_2)x - (0,5A_1 + 3A_2)}{(x-3)(x-0,5)}[/mm]
>
> Nach Koeffizientenvergleich und LGS lösen erhalte ich
> folgende Zerlegung:
>
> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{2}{x-3} + \frac{3}{x-0,5}[/mm]
>
Es wäre hier gut gewesen, wenn du dein LGS angegeben hättest, aber es geht hier auch per Kristallkugel:
- Dein LGS:
[mm]\begin{aligned}
A_1+A_2&=5\\
0.5A_1+3A_2&=10
\end{aligned}[/mm]
Um es kurz zu machen, das ist falsch und der Fehler ist schnell gefunden: du hast den Faktor 2, mit dem du deine Linearfaktorzerlegung noch multiplizieren müsstest, um auf das Nennerpolynom zu kommen, nicht berücksichtigst. Tut man dies, so erhält man:
- Das korrekte LGS:
[mm]\begin{aligned}
2A_1+A_2&=5\\
A_1+6A_2&=10
\end{aligned}[/mm]
> Ein Online-Rechner spuckt mir jetzt folgenden Ergebnis
> aus:
>
> [mm]\frac{5x-10}{2x^2-7x+3} = \frac{1}{x-3} + \frac{3}{2x-1}[/mm]
>
Das ist korrekt und mit dem angegebenen LGS rechnest du es leicht nach.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Fr 22.12.2017 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Es wäre hier gut gewesen, wenn du dein LGS angegeben
> hättest, aber es geht hier auch per Kristallkugel:
>
> - Dein LGS:
>
> [mm]\begin{aligned}
A_1+A_2&=5\\
0.5A_1+3A_2&=10
\end{aligned}[/mm]
Ja, genau so hatte ich es.
> Um es kurz zu machen, das ist falsch und der Fehler ist
> schnell gefunden: du hast den Faktor 2, mit dem du deine
> Linearfaktorzerlegung noch multiplizieren müsstest, um auf
> das Nennerpolynom zu kommen, nicht berücksichtigst.
Oh, das war mir irgendwie gar nicht klar.
Jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank 
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