Partialbruch-Konstanten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 16.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der Konstantenbestimmung bei der Partialbruchzerlegung.
Ursprüngliche Aufgabenstellung:
[mm] \integral {(\bruch{x^{2}-5x+8}{x^{4}-6x^{2}+8x-3}) dx}
[/mm]
Daraus folgen die Nullstellen: {-3,1,1,1}
das heißt:
[mm] \bruch{A_{1}}{(x-1)}+\bruch{A_{2}}{(x-1)^{2}}+\bruch{A_{3}}{(x-1)^{3}}+\bruch{B_{1}}{(x+3)}
[/mm]
dann:
[mm] \bruch{A_{1}(x-1)^{2}(x+3)+A_{2}(x-1)(x+3)+A_{3}(x+3)+B_{1}(x-1)^{3}}{(x-1)^{3}(x+3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x^{2}-5x+8)}{(x+3)}
[/mm]
gleichsetzen:
[mm] (x^{2}-5x+8)=(A_{1}(x-1)^{2}(x+3)+A_{2}(x-1)(x+3)+A_{3}(x+3)+B_{1}(x-1)^{3})
[/mm]
und jetzt wird x=1,-3,0,-1 eingesetzt zum Auflösen der Gleichung
wobei ich nur die 1 und -3 durch die Nullstellen nachvollziehen kann.
woher kommen die 0 und -1 ???
danke u. grüße kruder77
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, kruder,
> ich habe ein Problem mit der Konstantenbestimmung bei der
> Partialbruchzerlegung.
>
>
> Daraus folgen die Nullstellen: {-3,1,1,1}
Du meinst natürlich: NENNER-Nullstellen: x=-3 (einfach) und x=1 (dreifach).
(Das sind nämlich keine Nullstellen der Funktion, sondern - in diesem Fall - Pole und zwar einmal erster und einmal dritter Ordnung!)
>
> [mm](x^{2}-5x+8)=(A_{1}(x-1)^{2}(x+3)+A_{2}(x-1)(x+3)+A_{3}(x+3)+B_{1}(x-1)^{3})
[/mm]
>
Da diese Gleichung für alle x [mm] \in [/mm] R richtig ist (Sie ist daher nicht äquivalent zur Ausgangsgleichung, weil dort D=R \ {-3; 1} gilt! Macht aber für die Bestimmung der 4 Konstanten nichts!), da also jedes beliebige x eingesetzt werden darf, nimmt man natürlich schlauerweise solche Werte, für die sich besonders einfache Gleichungen ergeben!
Für x=1 und auch für x=-3 fallen auf der rechten Seite reihenweise Summanden weg; daher bieten sich die beiden Werte natürlich an! Da wir aber insgesamt 4 Konstanten suchen, müssen wir auch 4 verschiedene x-Werte einsetzen. Nun - und da gibt's hier kaum einfachere Zahlen als x=0 und x=-1 (vielleicht noch x=2). Wer natürlich lieber x=27 und x=-36,378 oder sonst was Irres einsetzen möchte, darf dies auch tun!
Wetten, dass man dann dieselben Lösungen für A1, A2, A3 und B kriegt?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 16.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo Zwerglein,
das heisst also, dass ich immer genau soviele (beliebige, jedoch von einander verschiedene) x-Werte einsetzte wie ich einzelne Brüche habe und das dadurch letzendlich das selbe rauskommt !? (Mensch und ich habe ne Ewigkeit davor gesessen und mich gefragt wie die auf diese Werte kommen *lol*).
mfg Kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ihr beiden,
als Alternative kann man auch hingehen und berechnen für welche Konstanten die beiden Polynome [mm] $x^{2}-5x+8$ [/mm] und [mm] $A_{1}(x-1)^{2}(x+3)+A_{2}(x-1)(x+3)+A_{3}(x+3)+B_{1}(x-1)^{3}$) [/mm] gleich sind. Denn die Gleichung soll ja immer gelten. Multipliziert man die rechte Seite aus erhält man
$ [mm] (x^{2}-5x+8)=(A_1+B_1)x^3 [/mm] + [mm] (A_1+A_2-3B_1)x^2 [/mm] + [mm] (-5A_1+2A_2+A_3+3B_1)x [/mm] + [mm] (3A_1-3A_2+3A_3-B_1)$
[/mm]
Nach sogenannten Koeffizientenvergleich folgen daraus das lineare Gleichungssystem
[mm] $0=A_1+B_1$
[/mm]
[mm] $1=A_1+A_2-3B_1$
[/mm]
[mm] $-5=-5A_1+2A_2+A_3+3B_1$
[/mm]
[mm] $8=3A_1-3A_2+3A_3-B_1$
[/mm]
mit der Lösungsmenge [mm] $\{-\frac{1}{2}; -1; 1; -\frac{1}{2}\}$.
[/mm]
Da diese Bedingung für alle $x$ gilt kann man sich vier Gleichungen die die Konstanten berechenbar machen erzeugen indem man vier beliebige $x$ Werte einsetzt.
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Brackhaus,
das stimmt und ist mathematisch gesehen sogar der "sauberere" Weg, weil man nicht Definitionslücken verwendet!
Jedoch ist der andere Weg m.E. "der schnellere" und daher auch der empfehlenswerte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Mi 16.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Danke @ Brackhaus,
jetzt weiß ich, wie die auf die Zahlen gekommen sind und der Weg mit der Matrix ist wesentlich
ersichtlicher! ( finde zumindest ich  )
- Ich mag sicher am Ziel ankommen, da spielt die Geschwindigkeit der Lösung nicht wirklich eine Rolle
nochmal Danke @Brackhaus & Zwerglein
mfg kruder77
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