Part. Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Do 09.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend,
kann mir wer bestätigen, dass man partielle Differenzierbarkeit einer Funktion f: [mm] R^{2} [/mm] --> R so zeigt, indem man jeweils eine Variable als Konstante annimmt und dann die normale Differenzierbarkeit für die andere Variable zeigt?
Mein Bsp ist:
[mm] f(x,y)=\bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0)
Hat wer Tipps für mich? Wenn man den Differenzenquotienten sucht, ergibt sich ein ziemlich komplizierter Ausdruck. Davon den Limes zu finden ist nicht einfach...
Gruß
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Hallo Paivren,
> Guten Abend,
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> kann mir wer bestätigen, dass man partielle
> Differenzierbarkeit einer Funktion f: [mm]R^{2}[/mm] --> R so zeigt,
> indem man jeweils eine Variable als Konstante annimmt und
> dann die normale Differenzierbarkeit für die andere
> Variable zeigt?
>
Ja, das macht man so.
> Mein Bsp ist:
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}[/mm] für
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
> f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0)
>
> Hat wer Tipps für mich? Wenn man den Differenzenquotienten
> sucht, ergibt sich ein ziemlich komplizierter Ausdruck.
> Davon den Limes zu finden ist nicht einfach...
>
Poste diesen komplizierten Ausdruck.
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 09.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Mathepower,
ok, dann will ich mal:
Gesucht ist der Grenzwert für h->0 von dem Differenzenquotient:
[mm] \bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(x+h)y((x+h)^{2}-y^{2})}{(x+h)^{2}+y^{2}} - \bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{h} (\bruch{(x+h)y((x+h)^{2}-y^{2})}{(x+h)^{2}+y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}} [/mm] )
Wie geh ich da denn vor? Gleichnamig machen und einfach vereinfachen?
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Hallo Paivren,
> Hey Mathepower,
>
> ok, dann will ich mal:
>
> Gesucht ist der Grenzwert für h->0 von dem
> Differenzenquotient:
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> [mm]\bruch{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(x+h)y((x+h)^{2}-y^{2})}{(x+h)^{2}+y^{2}} - \bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}{h}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{h} (\bruch{(x+h)y((x+h)^{2}-y^{2})}{(x+h)^{2}+y^{2}}[/mm] - [mm]%5Cbruch%7Bxy(x%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D)%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D[/mm] ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie geh ich da denn vor? Gleichnamig machen und einfach
> vereinfachen?
Puh, willst du die partielle Diffbarkeit in den Punkten [mm] $\neq [/mm] (0,0)$ wirklich explizit zeigen?
Ich meine, als Zusammensetzung von Polynomen ist das Ding doch "nett". Das zeigt man in der Regel einmal für Polynome in der VL und dann beruft man sich darauf ...
Hier ist nur $(0,0)$ kritisch.
Die Stelle allein gilt es zu untersuchen. Da vereinfacht sich der Ausdruck doch beträchtlich ...
Beachte, dass $f(0,0)=0$ ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für den Hinweis mit den Polynomen, das hatten wir wirklich in Ana1 bewiesen (sogar für gebrochenrationale)!!
Habe jetzt einen kurzen Text geschrieben, dass beim part. Differenzieren eine Variable als Konstante aufgefasst wird, und die Funktion dann nach der anderen Variable gemäß den Regeln der Differentialrechnung abgeleitet wird. Abgeleitet werden muss also eine gebrochenrationale Funktion, welche nach AnaI dort differenzierbar sind, wo sie definiert sind.
Zu (0,0):
Kann ich dort einfach die h-Methode verwenden?
Von wegen (0+h-0)/h =1
Ich soll außerdem zeigen, dass [mm] D_{1}D_{2}f(0,0)\not=D_{2}D_{1}f(0,0)
[/mm]
Aber die Ableitung von 0 ist doch 0...
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
>
> vielen Dank für den Hinweis mit den Polynomen, das hatten
> wir wirklich in Ana1 bewiesen (sogar für
> gebrochenrationale)!!
> Habe jetzt einen kurzen Text geschrieben, dass beim part.
> Differenzieren eine Variable als Konstante aufgefasst wird,
> und die Funktion dann nach der anderen Variable gemäß den
> Regeln der Differentialrechnung abgeleitet wird. Abgeleitet
> werden muss also eine gebrochenrationale Funktion, welche
> nach AnaI dort differenzierbar sind, wo sie definiert
> sind.
>
> Zu (0,0):
> Kann ich dort einfach die h-Methode verwenden?
> Von wegen (0+h-0)/h =1
Zu berechnen ist [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$
[/mm]
Das ist im Falle der Existenz [mm] $f_x(0,0)$
[/mm]
Analog für [mm] $f_y(0,0)$
[/mm]
Beide partiellen Ableitungen in $(0,0)$ sind $0$
>
> Ich soll außerdem zeigen, dass
> [mm]D_{1}D_{2}f(0,0)\not=D_{2}D_{1}f(0,0)[/mm]
> Aber die Ableitung von 0 ist doch 0...
Du musst wieder die Definition benutzen:
[mm] $f_{xy}(0,0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f_x(0,0+h)-f_x(0,0)}{h}$ [/mm] (falls ex.)
Und [mm] $f_{yx}$ [/mm] analog ...
[mm] $f_x$ [/mm] und [mm] $f_y$ [/mm] außerhalb von $(0,0)$ hast du ja (oder kannst es ja) mit den normalen Ableitungsregeln berechnen.
Das ist noch etwas Arbeit ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Paivren |
Ah, ich verstehe, dadurch, dass ich auf die 0 etwas dazuaddiere, muss ich wieder die andere Vorschrift für x ungleich (0,0) benutzen.
Vielen Dank!
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