Part. Diffbarkeit,Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch:
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }xy=0 \\
1, & \mbox{sonst }
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeige dass f im Punkt (0,0) partiell differenzierbar aber nicht stetig ist. |
Hallo,
ich hab dazu aufgeschrieben:
Es ist
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}\bruch{0-0}{h} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}\bruch{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0}\bruch{0-0}{h} [/mm] = 0
Also folgt f(x,y) in (0,0) partiell diffbar.
Stetigkeit;
Betrachte Folge [mm] a_n=(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}), [/mm] Es ist [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = (0,0)
Nun ist [mm] \lim_{n \to \infty}f(a_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] 1 = 1 [mm] \not= [/mm] 0 = f(0,0)
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht stetig in (0,0)
Ist das richtig?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
vielleicht dazuschreiben f(0+h,0)=0 wegen (0+h)*0=0, aber eigentlich ist das ja klar.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Do 13.12.2012 | | Autor: | helicopter |
OK, Danke.
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| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{wenn }(x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{wenn }(x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.
[/mm]
Zeige das f in allen Punkten [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] zweimal partiell differenzierbar ist und das [mm] \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial{x}\partial{y}}(0,0) \not= \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial{y}\partial{x}}(0,0) [/mm] gilt. |
Hallo nochmal,
stimmt es das es für den fall [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0) reicht, die Ableitungen auszurechnen um die partielle diffbarkeit zu zeigen? Wenn es so ist, warum?
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Hallo,
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{wenn }(x,y)\not=(0,0) \\
0, & \mbox{wenn }(x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Zeige das f in allen Punkten [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm] zweimal
> partiell differenzierbar ist und das
> [mm]\bruch{\partial^{2}{f}}{\partial{x}\partial{y}}(0,0) \not= \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial{y}\partial{x}}(0,0)[/mm]
> gilt.
> Hallo nochmal,
> stimmt es das es für den fall [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) reicht, die
> Ableitungen auszurechnen um die partielle diffbarkeit zu
> zeigen?
Ja!
> Wenn es so ist, warum?
Außerhalb von $(0,0)$ ist die Funktion ja als Zusammensetzung von Polynomen doch "lieb", das ist alles schön (partiell) diffbar und stetig usw.
Einzig in $(0,0)$ könnte es Stress geben, weil da der Nenner Probleme machen kann.
Gruß
schachuzipus
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Das heißt für den fall [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] rechne ich mit Quotientenregel die Ableitungen aus und das genügt, und für (x,y)=(0,0) gehe ich wie bei der 1. Aufgabe vor und mache das über den Grenzwert?
Und was ist mit 2x partiell ableiten gemeint, [mm] \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial^{2}{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial^{2}{y}} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ja
2,
Und was ist mit 2x partiell ableiten gemeint, $ [mm] \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial^{2}{x}} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{\partial^{2}{f}}{\partial^{2}{y}} [/mm] $ ?
die 2 und dazu die 2 in der aufgabe, erst dann hast du alle.
Gruss leduart
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