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| Aufgabe | Sie sind mit dem Auto unterwegs zum Kino. Das Kino liegt an einer unbegrenzt langen,
geraden Straße, die auf einer Seite auf ganzer Länge mit Parkplätzen versehen ist. Das
Kino ist das einzige seiner Art an dieser Straße und der Eingang liegt zentral vor einem
ganz bestimmten Parkplatz. Sie wohnen ziemlich weit weg und auf Ihrer Fahrt zum
Kino passieren Sie alle Parkplätze, die auf ihrer Seite des Kinos liegen.
Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Parkplatzes belegt zu sein, ist unabhängig und
identisch mit [mm] p\in(0, [/mm] 1) gegeben. Ihre Parkplatzsuche verläuft folgendermaßen: Stehen
Sie unmittelbar vor einem Parkplatz, dann können Sie erkennen ob er belegt ist oder
nicht und, insofern er noch frei ist, ihn nehmen oder nicht. Kein anderer Parkplatz ist
beobachtbar, der Rückwärtsgang defekt. In unserer eine-Straße-ein-Kino-eine-Richtung-
Welt regnet es auch noch permanent. Ziel ist es also, möglichst nah am Kino zu parken,
d.h. die Distanz beim Parken zum einen optimalen Parkplatz direkt vor dem Eingang
zu minimieren.
(a) Angenommen, Sie waren unaufmerksam und der erste Parkplatz, den Sie beobachten,
ist derjenige unmittelbar vor dem Kino. Wie groß ist Ihre erwartete Distanz zum
Kino?
(b) Angenommen [mm] p=\bruch{9}{10}, [/mm] von welchem Parkplatz an, nehmen Sie den Parkplatz und hoffen
nicht mehr einen besseren Parkplatz näher am Kino zu finden? |
Hallo!
Boah, das nenn ich mal ne Aufgabe -.-
Immer wird irgendwas in einen unrealistischen Kontext versetzt...
Naja, egal...
Zu a):
Wenn ich das richtig verstehe. Kann man einfach [mm] \Omega:=\{0,1\}^{\IN} [/mm] nehmen, also die Menge aller Folgen aus 0 und 1, wobei 0: belegt und 1: frei
und [mm] \IP(0)=p; \IP(1)=p-1
[/mm]
und [mm] X:\Omega\to\IN; X((\omega_{n})_{n\in\IN})=min\{k\in\IN|w_{k}=1\}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] E(X)=\sum_{n\in\IN}n*p^{n-1}*(1-p)=\bruch{1}{1-p}
[/mm]
Da X die Parkplatznummer beschreibt und der vorm Kino der erste ist muss man da noch ne 1 abziehen und man sollte den zu erwartenden Abstand zum Kino in Parkplätzen haben.
Zu b):
Die Aufgabe versteh ich nicht, so überhaupt nicht... Was soll ich da tun???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Salamence,
also ich weiss auch nicht genau, was gemeint ist, aber man könnte sich zum Beispiel überlegen:
Wenn man vor einem freien Parkplatz steht (sagen wir Nr.k), fährt man nicht mehr weiter, falls die W'keit unter den letzten k-1 noch einen Freien zu finden unter 50% ist. Man such also das grösste k, für das noch P(X<k)<0,5 gilt.
Aber ob die Aufgabe, das meint, weiss ich wie gesagt nicht.
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Salamence |
Also bei b) ist wohl gemeint den Erwartungswert der Distanz zu minimieren, wenn man ab dem n-ten Parkplatz vorm Kino (Parkplatz 0) den ersten freien nimmt...
Ich hab das mal versucht...
Sei [mm] \Omega(n):=\{0,1\}^{n+1}\times\{0,1\}^{\IN} [/mm] wobei 0: belegt
und [mm] \omega\in\Omega(n)
[/mm]
[mm] \omega=(\omega_{-n},...,\omega_{-1}, \omega_{0}, \omega_{1},...)
[/mm]
[mm] d(n):\Omega(n)\to\IZ
[/mm]
[mm] \omega\mapsto |min\{k\in\IZ|k\ge -n, \omega_{k}=1\}|
[/mm]
[mm] E[D(n)]=\sum_{k=-n}^{\infty}|k|*p^{n+k}*(1-p)=(1-p)*[\sum_{k=1}^{n}k*p^{n-k}+\sum_{k=0}^{\infty}k*p^{n+k}]
[/mm]
Wenn man das nun für einige n berechnet, erhält man, dass es für n=6 minimal ist...
Ist das nun die Lösung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 03.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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