Parametrisierung, Kurveninteg. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 13.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Die erste Kurve habe ich hinbekommen: $C: [0,t] [mm] \to \IR²: t\mapsto \vektor{t \\ 0}$
[/mm]
Damit ist $|C'(t)|=1$ also [mm] $\integral_{0}^{t}{t²dt}=\frac{1}{3}$
[/mm]
Muss ich die zweite Kurve dreiteilen und dann drei Wegintegrale aufsummieren oder geht das auch schneller?
Für die dritte Kurve habe ich folgende Parametrisierung aufgestellt:
$C: [0,t] [mm] \to \IR²: t\mapsto \vektor{sin(\frac{\pi}{2}t) \\sin(\pi t) }$
[/mm]
Richtig? Geht es auch einfacher?
Besten Dank für eure Antworten!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die erste Kurve habe ich hinbekommen: [mm]C: [0,\red{t}] \to \IR²: t\mapsto \vektor{t \\ 0}[/mm]
Bis auf einen kleinen Schreibfehler, Du wolltest doch sicherlich folgendes schreiben:
[mm]C: [0,\blue{1}] \to \IR²: t\mapsto \vektor{t \\ 0}[/mm]
>
> Damit ist [mm]|C'(t)|=1[/mm] also
> [mm]\integral_{0}^{t}{t²dt}=\frac{1}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Muss ich die zweite Kurve dreiteilen und dann drei
> Wegintegrale aufsummieren
das geht sicher
> oder geht das auch schneller?
fällt mir nichts Gescheiteres ein.
>
> Für die dritte Kurve habe ich folgende Parametrisierung
> aufgestellt:
> [mm]C: [0,\red{t}] \to \IR²: t\mapsto \vektor{sin(\frac{\pi}{2}t) \\sin(\pi t) }[/mm]
Auch hier hast Du wieder die obere Grenze des Definitionsintervalls in den Sand gesetzt.
>
> Richtig?
Nein, leider nicht. Wie bist Du denn auf diese merkwürdige Parametrisierung gekommen? Der Plot sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Geht es auch einfacher?
Sicherlich: wie wärs mit
[mm]C:\; [0,\pi]\to \IR^2, \varphi\mapsto \pmat{0.5+0.5\cos(\varphi)\\0.5\sin(\varphi)}[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 13.08.2008 | | Autor: | bigalow |
>$ [mm] C:\; [0,\pi]\to \IR^2, \varphi\mapsto \pmat{0.5+0.5\cos(\varphi)\\0.5\sin(\varphi)}$
[/mm]
Ich habe nicht verstanden, wie du die erste Zeile von C aufstellst: die Kurve soll doch beim x-Wert 0 starten und bei x=1 enden. Dein Startwert ist [mm] \varphi=0, [/mm] also beginnt die Kurve bei $x=0,5+ cos(0)=1,5$ und endet bei [mm] $x=0,5+cos(\pi)=-0,5 [/mm] $ ???
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> >[mm] C:\; [0,\pi]\to \IR^2, \varphi\mapsto \pmat{0.5+0.5\cos(\varphi)\\0.5\sin(\varphi)}[/mm]
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> Ich habe nicht verstanden, wie du die erste Zeile von C
> aufstellst: die Kurve soll doch beim x-Wert 0 starten und
> bei x=1 enden. Dein Startwert ist [mm]\varphi=0,[/mm] also beginnt
> die Kurve bei [mm]x=0,5+ cos(0)=1,5[/mm] und endet bei
> [mm]x=0,5+cos(\pi)=-0,5[/mm] ???
Ah, Entschuldigung: ich habe diese Richtungsfrage gar nicht angeschaut. Ich war von der merkwürdigen Form Deiner Parametrisierung derart fasziniert - oder verwirrt 
Also dann müssen wir die Richtung der Kurve einfach umkehren? Kein Problem:
[mm]C:\; [-\pi,0]\to \IR^2, \varphi\mapsto \pmat{0.5+0.5\cos(-\varphi)\\0.5\sin(-\varphi)}=\pmat{0.5+0.5\cos(\varphi)\\-0.5\sin(\varphi)}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 14.08.2008 | | Autor: | bigalow |
Okay, das dritte Integral ist dann
[mm] $\integral_{-\pi}^{0}{(f(C(t))|C'(t)|) dt}=\frac{1}{4}\integral_{-\pi}^{0}{(1+cos(t)) dt}=\frac{\pi}{4}$
[/mm]
Richtig?
Nebenrechnung:
[mm] $C'(t)=\vektor{-0,5sin(t) \\ -0,5cos(t)}$ [/mm] -> [mm] $|C'(t)|=\wurzel{\frac{1}{4}(sin²(t)+cos²(t))}=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $f(C(t))=(0,5+0,5cos(t))²+\frac{1}{4}sin²(t)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos(t)+\frac{1}{4}cos²(t)+\frac{1}{4}sin²(t)=\frac{1}{2}(1+cos(t))$
[/mm]
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> Okay, das dritte Integral ist dann
> [mm]\integral_{-\pi}^{0}{(f(C(t))|C'(t)|) dt}=\frac{1}{4}\integral_{-\pi}^{0}{(1+cos(t)) dt}=\frac{\pi}{4}[/mm]
>
> Richtig?
Mir leuchtet es jedenfalls ein und das Integral scheinst Du sicher richtig ausgerechnet zu haben.
>
> Nebenrechnung:
> [mm]C'(t)=\vektor{-0,5sin(t) \\ -0,5cos(t)}[/mm] ->
> [mm]|C'(t)|=\wurzel{\frac{1}{4}(sin²(t)+cos²(t))}=\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f(C(t))=(0,5+0,5cos(t))²+\frac{1}{4}sin²(t)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos(t)+\frac{1}{4}cos²(t)+\frac{1}{4}sin²(t)=\frac{1}{2}(1+cos(t))[/mm]
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