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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | [mm] r:\begin{cases} 3+t \\ -5 \\ -t +1/2 \end{cases}
[/mm]
[mm] r:\begin{cases} x-2*z-1=0 \\ y-3*z-1=0 \end{cases}
[/mm]
Finden sie die Gleichung der Ebene [mm] \pi [/mm] welche durch den Punkt P(2,1,1) geht und parallel auf r und s ist.
Finden sie weiters die Werte a für denen die Ebene ax+2y+2az+2=0 parallel oder im rechten. Winkel auf [mm] \pi [/mm] steht |
Hallo alle zusammen!
Also die Aufgabenstellung ist kein Problem:
für s:
x-2z-1=0 n1(1,0,-2)
y-3z-1=0 n2(0,1,-3)
n.. Normalvektoren zu den Ebenen
Über ein Kreuzprodukt finde ich den sich aus dem Schnitt der beiden Ebenen bildenden Vektor: [2,3,1]
Für r habe ich den Vektor t*[1,0,-1] gewählt
Ebene:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] +s* [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Ebene verläuft durch einen Punkt (2 ,1 ,1) und ist parallel zu einem Vektor (1,0,1) und einem Vektor (2,3,1).
Das kann man auch schreiben wie folgt:
x=2+1*t+2s
y=1+3s
z=1-t+s
somit aus y:
s= (y-1)/3
in => z und auflösen nach t
t= (y-3z+2)/3
in x wird t und s eingesetzt, somit risultiert:
x= y-z+2
Ist das richtig? Die weitere vorgehensweise wäre dann:
Skalaprodukt des Normalvektors der Ebene [mm] \pi [/mm] mit der Ebene wo a unbekannt ist, Skalaprodukt ist 0 für einen rechten Winkel, also kann ich auf a auflösen.
Nur wie finde ich heraus, ob es auch parallel geht? Über das Kreuzprodukt?
lg und Danke
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 17.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Zuggel,
> [mm]r:\begin{cases} 3+t \\ -5 \\ -t +1/2 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]r:\begin{cases} x-2*z-1=0 \\ y-3*z-1=0 \end{cases}[/mm]
>
> Finden sie die Gleichung der Ebene [mm]\pi[/mm] welche durch den
> Punkt P(2,1,1) geht und parallel auf r und s ist.
> Finden sie weiters die Werte a für denen die Ebene
> ax+2y+2az+2=0 parallel oder im rechten. Winkel auf [mm]\pi[/mm]
> steht
> für s:
>
> x-2z-1=0 n1(1,0,-2)
> y-3z-1=0 n2(0,1,-3)
>
> n.. Normalvektoren zu den Ebenen
> Über ein Kreuzprodukt finde ich den sich aus dem Schnitt
> der beiden Ebenen bildenden Vektor: [2,3,1]
>
> Für r habe ich den Vektor t*[1,0,-1] gewählt
>
> Ebene:
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] +s*
> [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> Ebene verläuft durch einen Punkt (2 ,1 ,1) und ist parallel
> zu einem Vektor (1,0,-1) und einem Vektor (2,3,1).
> Das kann man auch schreiben wie folgt:
>
> x=2+1*t+2s
> y=1+3s
> z=1-t+s
>
> somit aus y:
> s= (y-1)/3
>
> in => z und auflösen nach t
> t= (y-3z+2)/3
>
> in x wird t und s eingesetzt, somit risultiert:
>
> x= y-z+2
>
> Ist das richtig? Die weitere vorgehensweise wäre dann:
ja, richtig schon aber schrecklich mühsam!
Bilde den gesuchten Normalenvektor besser über das Kreuzprodukt wie oben.
> Skalaprodukt des Normalvektors der Ebene [mm]\pi[/mm] mit der Ebene
> wo a unbekannt ist, Skalaprodukt ist 0 für einen rechten
> Winkel, also kann ich auf a auflösen.
ja.
> Nur wie finde ich heraus, ob es auch parallel geht? Über
> das Kreuzprodukt?
ja, das wäre möglich.
Einfacher aber, indem du direkt forderst, daß die beiden Normalenvektoren Vielfache sein sollen.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Nur wie finde ich heraus, ob es auch parallel geht? Über
> das Kreuzprodukt?
> ja, das wäre möglich.
> Einfacher aber, indem du direkt forderst, daß die beiden
> Normalenvektoren Vielfache sein sollen.
Das heißt, dass der Vektor [a,2,2a] ein Vielfaches von [2,3,1] sein soll?
Das würde dann bedeuten:
t* [a,2,2a] = [2,3,1]
Wobei t [mm] \in \IR [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Zuggel,
> > Nur wie finde ich heraus, ob es auch parallel geht? Über
> > das Kreuzprodukt?
>
> > ja, das wäre möglich.
> > Einfacher aber, indem du direkt forderst, daß die beiden
> > Normalenvektoren Vielfache sein sollen.
>
> Das heißt, dass der Vektor [a,2,2a] ein Vielfaches von
> [2,3,1] sein soll?
Die Ebene [mm] $\pi$ [/mm] hat den Normalenvektor (1,-1,1).
>
Das würde dann bedeuten:
t * [a,2,2a] = [1,-1,1]
>
> Wobei t [mm]\in \IR[/mm] ist?
und man sieht schnell, daß das nicht möglich ist.
Gruß
Will
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