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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 11.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Hallo!
Habe folgende Aufgabe:
Sei [mm] \omega [/mm] = dy [mm] \wedge [/mm] dz + (1-2(x+z))dz [mm] \wedge [/mm] dx + dx [mm] \wedge [/mm] dy.
Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{M}{\omega} [/mm] über das Paraboloid [mm] M=\{(x,y,z)\in \IR^3; x^2+z^2=y\le4\}.
[/mm]
Parametrisieren Sie dabei zunächst das Paraboloid.
Als Parametrisierung hab ich mir überlegt:
c(s,t)= [mm] \vektor{2s*cos(2\pi t) \\ 2s*sin(2\pi t)} s,t\in[0,1]
[/mm]
Leider habe ich keine Ahnung wie ich jetzt weitermachen soll.
mfg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Verena!
Leuten, die noch zögern, ob sie ins Projektteam kommen wollen, helfe ich natürlich ganz besonders gerne, in der Hoffnung, dass das die Entscheidung beeinflussen könnte. 
> Habe folgende Aufgabe:
> Sei [mm]\omega[/mm] = dy [mm]\wedge[/mm] dz + (1-2(x+z))dz [mm]\wedge[/mm] dx + dx
> [mm]\wedge[/mm] dy.
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{M}{\omega}[/mm] über das
> Paraboloid [mm]M=\{(x,y,z)\in \IR^3; x^2+z^2=y\le4\}.
[/mm]
>
> Parametrisieren Sie dabei zunächst das Paraboloid.
>
> Als Parametrisierung hab ich mir überlegt:
> c(s,t)= [mm]\vektor{2s*cos(2\pi t) \\ 2s*sin(2\pi t)} s,t\in[0,1]
[/mm]
Das ist nicht so ganz richtig. Du meinst aber vermutlich das Richtige, nämlich:
$c(s,t)= [mm] \vektor{2s*cos(2\pi t) \\ 4s^2 \\ 2s*sin(2\pi t)} s,t\in[0,1]$.
[/mm]
Du siehst selber, was du vergessen hast, nehme ich mal an.
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich jetzt weitermachen
> soll.
Das ist nicht weiter schwierig, ehrlich nicht. Das Integrieren von Differentialformen ist im Prinzip sogar sehr einfach. Im zweiten/dritten Semester (je nachdem, wann man es macht) hat man mächtig Bammel davor, aber im Prinzip ist es wirklich halb so wild. Zunächst einmal setzt du für $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten von $c(s,t)$ ein. Dann rechnest du die einzelnen Differentiale aus, also:
$dx = 2 [mm] \cdot \cos(2\pi t)\, [/mm] ds - 2s [mm] \cdot \sin(2\pi [/mm] t) [mm] \cdot 2\pi\, [/mm] dt$,
$dy = [mm] 8s\, [/mm] ds$,
$dz = 2 [mm] \cdot \sin(2\pi t)\, [/mm] ds + 2s [mm] \cos(2\pi [/mm] t) [mm] \cdot 2\pi\, [/mm] dt$.
Ich sagte gerade: Das ist einfach. Ist es auch, aber Rechenfehler kann ich am heutigen Tag trotzdem nicht ausschließen, also rechne es bitte nach. 
So jetzt setzt du die Differentiale einfach ein, und beachtest dabei die bekannten Rechenregeln:
$ds [mm] \wedge [/mm] ds=0$,
$dt [mm] \wedge [/mm] ds = - ds [mm] \wedge [/mm] dt$,
...
Und dann bekommst du:
[mm] $\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \ldots [/mm] dsdt$,
was du elementar berechnen kannst.
Kommst du damit jetzt selber klar? Du kannst uns die Rechnung gerne zur Probe/Kontrolle mal präsentieren.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Sa 12.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Ich hab das jetzt mal versucht auszurechnen, denke aber, dass sich irgendwo ein Vorzeichenfehler eingeschlichen hat.
Also ich hab:
$x = [mm] 2s\cdot \cos(2\pi [/mm] t)$
$y = [mm] 4s^2$
[/mm]
$z = [mm] 2s\cdot \sin(2\pi [/mm] t)$
$dx = 2 [mm] \cdot \cos(2\pi t)\, [/mm] ds - 2s [mm] \cdot \sin(2\pi [/mm] t) [mm] \cdot 2\pi\, [/mm] dt$
$dy = [mm] 8s\, [/mm] ds$
$dz = 2 [mm] \cdot \sin(2\pi t)\, [/mm] ds + 2s [mm] \cos(2\pi [/mm] t) [mm] \cdot 2\pi\, [/mm] dt$
[mm] $dy\wedge [/mm] dz = [mm] 32\pi s^2\cdot \cos(2\pi [/mm] t)dsdt$
[mm] $dz\wedge [/mm] dx = [mm] -8\pi [/mm] sdsdt$
[mm] $dx\wedge [/mm] dy = [mm] 32\pi s^2\cdot\sin(2\pi [/mm] t)dsdt$
Also muss ich berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} {32\pi s^2\cdot\cos(2\pi t)+(1-2(2s\cdot\cos(2\pi t)+2s\cdot\sin(2\pi t))(-8\pi s)+32\pi s^2\cdot\sin(2\pi t)dsdt}
[/mm]
Wie gesagt, ich denke da ist irgendwo ein Vorzeichenfehler. Wäre nett, wenn sich das mal jemand ansehen könnte.
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 12.02.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Verena, Stefan und Paul
lautet [mm]\omega[/mm] so:
[mm]\omega \; = \;dy\; \wedge \;dz\; + \;\left( {1\; - \;2\;\left( {x\; + \;z} \right)} \right)\;dx \wedge dz\; + \;dx\; \wedge dy[/mm]
dann lautet der Integrand
[mm]8\pi s[/mm]
Gruß
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
Aha, Danke, das ist ja interessant.
Kann es also sein, Verena, dass du die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben hast?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 So 13.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Hab die aufgabe schon richtig abgeschrieben.
Aber das war auch der Grund, warum ich dachte da wäre ein Vorzeichenfehler.
Aber ich hab jetzt verstanden, wie man solche aufgaben löst und das ist schließlich das wichtigste.
Danke für die Hilfe.
mfg Verena
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