Parametrisieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Paramentrisieren sie folgende Gleichung mit hilfe der Polarkoordinatendarstellung.
[mm] (x^2+y^2)*(x^2+y^2-2ax)-a^2y^2=0 [/mm] a>0. |
Guten Tach.
Nun ist die Frage wie ich das mache. Wir haben aber nun von unserem Übungsleiter den Tipp gekommen dass die parametrisierung [mm] (r(x)*\cos(x),r(x)*\sin(x)) [/mm] sein soll. Ich habe mir zwar ein r(x) hingerechnet und dass kommst auch hin aber das kann es eigentlich nicht sein weil ich ja am ende noch die länge ausrechnen soll mittels des Integrals [mm] \integral_{a}^{b}{||c'(x)|| dx}. [/mm] ich habe für [mm] r(x)=\bruch{2a\cos(x)}{1-a^2\sin^2(x)}. [/mm] Stimmt das( glaube ich eher weniger). Es wäre schön wenn das mal jemand nachprüfen könnte. Danke schön oder noch besser erklären wie man so entwas umrechnet. Danke schön
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 24.06.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo blascowitz,
du schreibst irgendwas von einem Integral, aber ich kann nicht sehen, was das Argument c(x) sein soll. Es wäre günstig, die vollständige Aufgabenstellung zu posten, dann kann dir besser geholfen werden.
So, aber jetzt schreibe ich dir erstmal, was ich grundsätzlich zur Parametrisierung über Polarkoordinaten weiß:
Man hat zwei alte Koordinaten (x und y) von einem Punkt/Vektor, die man durch zwei neue Koordinaten (bei Polarkoordinaten r, den Abstand vom Ursprung, also [mm] r=\sqrt{x^2+y^2}, [/mm] und [mm] \phi, [/mm] den Winkel zwischen x-Achse und Vektor) ausdrücken will.
Dazu verwendet man die Beziehungen (bei Polarkoordinaten, ansonsten muss man sich eben andere suchen):
[mm] x=r*cos(\phi)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\phi)
[/mm]
Zeichne dir am besten mal ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse hin, dann einen beliebigen Punkt, die x- und y-Koordinate (an den Achsen), den Abstand r vom Ursprung und den Winkel [mm] \phi [/mm] und versuch diese Beziehungen nachzuvollziehen.
Wenn nur eine Parametrisierung verlangt ist, würde ich einfach für x und y die Ausdrücke von oben einsetzen und evtl. Vereinfachen.
Gruß,
Vreni
|
|
|
| |
|
Danke erstmal für die Antwort.
Die Aufgabe ist: Ich soll die oben angegebene Gleichung Parametrisieren und die Länge ausrechnen. Das bestimmen der Länge macht man ja über [mm] \integral_{a}^{b}{||c'(x)|| dx} [/mm] wobei c'(x) die ableitung der parametrisierten kurve ist. (Verständlich?) Wenn ich das einsetzte was ich mir für r(x) hingerechnet habe,
kommst das schon so hin mit der parametrisierung nur kann das wirklich sein?
Weil das wäre ja mal ganz doof auszurechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 So 24.06.2007 | | Autor: | Vreni |
Also ich komme mit Paramtrisierung und Umformung über quadratische Ergänzung auf:
[mm] r=a+a*cos(\phi)
[/mm]
Hilft dir das weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 So 24.06.2007 | | Autor: | blascowitz |
hallo und danke für die Antwort. Ich habe gerade meinen Fehler gefunden. Wenn man die Aufgabe richtig liest und die Klammern beachtet geht alles einfacher. Ich komm allerdings auf r= [mm] a*\cos(x)-a. [/mm] Aber da muss ich noch mal nachrechnen. Ich danke ganz herzlich für die Hilfe von dir. Ich wünsche einen schönen Abend.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 24.06.2007 | | Autor: | Vreni |
Wenn es bei der Fehlersuche hilft: ich habe eigentlich |a|+a*cos(x) dastehen und da a>0 lasse ich die Betragsstriche einfach weg (aber vielleicht habe auch ich mich verrechnet).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 24.06.2007 | | Autor: | blascowitz |
Also ich habe meine Parametrisierung mal eingesetzt und es kommt hin auch mit [mm] a*\cos(x)-a. [/mm] Der Fehler kommt wahrscheinlich vom Wurzelziehen. Man kommt ja nachher auf [mm] (a*\cos(x)-r)^2= a^2 [/mm] richtig?. So hatte ich das zumindest am ende
|
|
|
|
