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| Aufgabe | | Finden Sie eine Parametrisierung von [mm] $\Gamma [/mm] = [0; 1] [mm] \times \{0\} \cup \{1\} \times [/mm] [0; 1] $; also eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] $\alpha [/mm] : [0; 1] [mm] \to \IR^2$, [/mm] deren Bild durch [mm] \Gamma [/mm] gegeben ist. |
Hallo zusammen,
irgendwie hapert es bei der Aufgabe. Egal was ich versuche, es kommt zu nix. Ich habe angefangen mit [mm] $\alpha(t) [/mm] = [mm] \vektor{ t \\ t} [/mm] - g(t)$. Und dann $g$ geeignet bestimmen. Aber das ging immer schief.
Gibt es denn einen Weg wie man an solche Aufgaben herangeht?
Und falls es sowas nicht gibt, wie muss ich denn an diese spezielle Aufgabe herangehen?
Viele Dank im Voraus!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 So 22.11.2009 | | Autor: | glenn |
Hallo Kai,
einen direkten Lösungsvorschlag habe ich leider auch nicht parat. Aber in meinen Augen schreit die Aufgabe nach einer Taylorapproximation. Allerdings sehe ich da ein Probleme aus technischer Sicht.
Mich würde ebenfalls eine Lösung für Probleme dieser Art interessieren.
glenn
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> Finden Sie eine Parametrisierung von [mm]\Gamma = [0; 1] \times \{0\} \cup \{1\} \times [0; 1] [/mm];
> also eine stetig differenzierbare Abbildung [mm]\alpha : [0; 1] \to \IR^2[/mm],
> deren Bild durch [mm]\Gamma[/mm] gegeben ist.
> Hallo zusammen,
>
> irgendwie hapert es bei der Aufgabe. Egal was ich versuche,
> es kommt zu nix. Ich habe angefangen mit [mm]\alpha(t) = \vektor{ t \\ t} - g(t)[/mm].
> Und dann [mm]g[/mm] geeignet bestimmen. Aber das ging immer schief.
>
> Gibt es denn einen Weg wie man an solche Aufgaben
> herangeht?
>
> Und falls es sowas nicht gibt, wie muss ich denn an diese
> spezielle Aufgabe herangehen?
>
> Viele Dank im Voraus!
>
> lg Kai
Hallo Kai,
hast du dir [mm] \Gamma [/mm] gezeichnet ?
Dann kannst du doch die erste Hälfte des Intervalls
[0;1] auf den ersten Schenkel und die zweite Hälfte
auf den zweiten Schenkel abbilden. Damit die Abbildung
aber nicht bloß stetig, sondern sogar stetig differen-
zierbar wird, musst du dir noch etwas einfallen lassen.
Du musst quasi die "Bewegung" entlang [mm] \Gamma [/mm] bei Annäherung
an die Ecke "auf Null abbremsen" und nachher wieder
beschleunigen.
Gruß Al-Chw.
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Ich habe [mm] \Gamma [/mm] gezeichnet, und die Ecke gesehen. Auf die Idee das Intervall [0; 0,5] auf den ersten Ast, und den Rest des Intervalls auf den 2. Ast abzubilden kam ich auch schon, aber auf mehr als eine Fallunterscheidung kam ich nich.
Dann hab ich sowas wie:
[mm] \alpha(t) = \begin{cases} \vektor{2t \\ 0 }, & \mbox{falls } t<\bruch{1}{2} \\ \vektor{0 \\ 2t - 1 } & \mbox{falls } t \ge \bruch{1}{2} \end{cases} [/mm].
Wenn ich das Ableiten will, dann komme ich nur auf die Idee mit charakteristischen Funktionen rum zu werkeln, aber da ist differenzieren nicht so schön.
Wie mache ich das denn schöner?
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 22.11.2009 | | Autor: | MichaFCC |
hat keiner eine idee? wäre auch sehr an der antwort interessiert.
vielen dank im vorraus.
mfg michafcc
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> Ich habe [mm]\Gamma[/mm] gezeichnet, und die Ecke gesehen. Auf die
> Idee das Intervall [0; 0,5] auf den ersten Ast, und den
> Rest des Intervalls auf den 2. Ast abzubilden kam ich auch
> schon, aber auf mehr als eine Fallunterscheidung kam ich
> nich.
>
> Dann hab ich sowas wie:
>
> [mm]\alpha(t) = \begin{cases} \vektor{2t \\ 0 }, & \mbox{falls } t<\bruch{1}{2} \\ \vektor{\red{0} \\ 2t - 1 } & \mbox{falls } t \ge \bruch{1}{2} \end{cases} [/mm].
Da muss eine 1 stehen, wenn du wirklich [mm] \Gamma [/mm] erhalten willst.
> Wenn ich das Ableiten will, dann komme ich nur auf die Idee
> mit charakteristischen Funktionen rum zu werkeln, aber da
> ist differenzieren nicht so schön.
Wenn man das ableitet, hat man:
[mm]\alpha'(t) = \begin{cases} \vektor{2 \\ 0 }, & \mbox{falls } t<\bruch{1}{2} \\ \vektor{0 \\ 2} & \mbox{falls } t > \bruch{1}{2} \end{cases} [/mm]
an der Stelle [mm] t=\frac{1}{2} [/mm] existiert die Ableitung nicht.
Der Ausweg: Man setze z.B. für [mm] t\ge\bruch{1}{2} [/mm] x(t)=0 und [mm] y(t)=4*(t-\bruch{1}{2})^2
[/mm]
Dann ist y'(t)=2-4t . Für [mm] x\downarrow{\bruch{1}{2}} [/mm] strebt dies gegen 0 .
Nun brauchst du nur noch für das Intervall [mm] 0\le{t}\le{1} [/mm] eine
analoge Parametrisierung, für die gilt [mm] \limes_{x\uparrow{\bruch{1}{2}}}x'(t)=0.
[/mm]
LG Al-Chw.
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Ich verstehe nicht was du mir sagen willst. Wenn ich $ [mm] y(t)=4\cdot{}(t-\bruch{1}{2})^2 [/mm] $ setzte, dann wächst doch y quadratisch, ich brauche doch aber lineares wachstum. Bzw. gut, wenn ich x auch quadratisch wachsen lasse dann hab ich wieder die geraden.
Ich komme dann also auf eine Funktion mit 2 Fällen wie ich schon hatte?
Dann muss ich also beide Fälle noch verändern?
lg Kai
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> Ich verstehe nicht was du mir sagen willst. Wenn ich
> [mm]y(t)=4\cdot{}(t-\bruch{1}{2})^2[/mm] setzte, dann wächst doch y
> quadratisch, ich brauche doch aber lineares wachstum. Bzw.
> gut, wenn ich x auch quadratisch wachsen lasse dann hab ich
> wieder die geraden.
Nein: für [mm] t\ge\bruch{1}{2} [/mm] bleibt ja x=1 konstant.
Ebenso ist für [mm] t\le\bruch{1}{2} [/mm] y=0=konstant .
> Ich komme dann also auf eine Funktion mit 2 Fällen wie ich
> schon hatte?
>
> Dann muss ich also beide Fälle noch verändern?
>
> lg Kai
In der Aufgabe ist nichts davon gesagt, dass die
Parametrisierung linear sein soll. Und mit linearer
Parametrisierung kannst du die Forderung der
Differenzierbarkeit am Knick gar nicht erfüllen.
Den zweiten Fall habe ich schon angegeben. Es
fehlt nur noch eine geeignete Parametrisierung
für x(t) im Intervall [mm] 0\le t\le\frac{1}{2} [/mm] .
LG
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Ahhh okay, jetzt hats Klick gemacht!
Vielen Dank! Tausend Dank!
lg Kai
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Zuletzt noch eine Frage interessehalber:
Wie kommt man darauf?
Muss man sowas sehen, schon mal gemacht haben, oder gibts da ein Allheilmittel für?
lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> Zuletzt noch eine Frage interessehalber:
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> Wie kommt man darauf?
>
> Muss man sowas sehen, schon mal gemacht haben, oder gibts
> da ein Allheilmittel für?
Für [mm]\left[0,1\right]\times \left\{0\right\}[/mm] haben wir die Darstellung
[mm]\pmat{\gamma_{1}\left(t\right) \\ 0}, \ 0 \le t \le \bruch{1}{2}[/mm]
Für [mm]\left\{1\right\}\times \left[0,1\right][/mm] haben wir die Darstellung
[mm]\pmat{1 \\ \gamma_{2}\left(t\right)}, \ \bruch{1}{2} \le t \le 1[/mm]
Nun ist offensichtlich, das gelten muss
[mm]\gamma_{1}\left(0\right)=0[/mm]
[mm]\gamma_{2}\left(1\right)=1[/mm]
Für die Stetigkeit muß außerdem
[mm]\gamma_{1}\left(\bruch{1}{2}\right)=1[/mm]
[mm]\gamma_{2}\left(\bruch{1}{2}\right)=0[/mm]
gelten.
Da auch die Differenzierbarkeit an der Stelle [mm]t=\bruch{1}{2}[/mm]
gewährleistet sein muss, gilt hier
[mm]\gamma_{1}'\left(\bruch{1}{2}\right)=0[/mm]
[mm]\gamma_{2}'\left(\bruch{1}{2}\right)=0[/mm]
Aus den je 3 Bedingungen für [mm]\gamma_{1}[/mm] und [mm]\gamma_{2}[/mm]
folgt der Ansatz je eines quadratischen Polynoms in t.
>
> lg Kai
Gruss
MathePower
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