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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Parameterisieren, Paraboloid
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Parameterisieren, Paraboloid: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:25 Di 29.01.2013
Autor: sissile

Aufgabe
Berechnen dsie das Volumen eines Körpers , der durch folgende Fläche begrenzt wird:
z= 4 [mm] -x^2 -y^2 [/mm]
z=1+1/2 [mm] (x^2+y^2) [/mm]

In der x-z Ebene (y=0) sind das 2 Parabeln. Die eine mit Scheitelpunkt [mm] S_1 [/mm] =(0,4) und die andere mit Scheitelpunkt [mm] S_2=(0,1) [/mm]

Der Schnitt der beiden Flächen ist eine Kurve, nämlich:
[mm] 4-x^2 -y^2= [/mm] 1+ [mm] 1/2(x^2+y^2) [/mm]
<=> 3 = 3/2 [mm] (x^2 +y^2) [/mm]
<=> 2 = [mm] (x^2 +y^2) [/mm]

-> - [mm] \sqrt{2} \le [/mm] x [mm] \le \sqrt{2} [/mm]
->  - [mm] \sqrt{2-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{2-x^2} [/mm]
Was eine Polarkoordiantentransformation nahelegt

Was sind aber nun die Grenzen für die z-Koordiante?
Wie finde ich diese?
Das verstehe ich nicht-

Bitte um Hilfe.


        
Bezug
Parameterisieren, Paraboloid: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Di 29.01.2013
Autor: meili

Hallo,

> Berechnen dsie das Volumen eines Körpers , der durch
> folgende Fläche begrenzt wird:
>  z= 4 [mm]-x^2 -y^2[/mm]
>  z=1+1/2 [mm](x^2+y^2)[/mm]
>  In der x-z Ebene (y=0) sind das 2 Parabeln. Die eine mit
> Scheitelpunkt [mm]S_1[/mm] =(0,4) und die andere mit Scheitelpunkt
> [mm]S_2=(0,1)[/mm]

Daraus kannst Du schließen, welche Fläche das Volumen von oben
und welche Fläche das Volumen von unten begrenzt.

>  
> Der Schnitt der beiden Flächen ist eine Kurve, nämlich:
>  [mm]4-x^2 -y^2=[/mm] 1+ [mm]1/2(x^2+y^2)[/mm]
>  <=> 3 = 3/2 [mm](x^2 +y^2)[/mm]

>  <=> 2 = [mm](x^2 +y^2)[/mm]

[ok]

>  
> -> - [mm]\sqrt{2} \le[/mm] x [mm]\le \sqrt{2}[/mm]
>  ->  - [mm]\sqrt{2-x^2} \le[/mm] y
> [mm]\le \sqrt{2-x^2}[/mm]

[ok]

>  Was eine Polarkoordiantentransformation
> nahelegt

Oder vielleicht besser Zylinderkoordinaten,
dann kann z beibehalten werden.

>  
> Was sind aber nun die Grenzen für die z-Koordiante?
>  Wie finde ich diese?

Aus den Gleichungen für die begrenzenden Flächen
z= 4 [mm]-x^2 -y^2[/mm] und  z=1+1/2 [mm](x^2+y^2)[/mm].

>  Das verstehe ich nicht-
>  
> Bitte um Hilfe.
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Parameterisieren, Paraboloid: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Di 29.01.2013
Autor: sissile

Ah jetzt geht mir da ein licht auf.

Transformation:
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \sqrt{2} [/mm]
0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm]
x= r cos [mm] \phi [/mm]
y= r sin [mm] \phi [/mm]
z=u
wobei [mm] 4-x^2 [/mm] - [mm] y^2 \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1+1/2 [mm] (x^2+y^2) [/mm]
<=> [mm] 4-r^2 \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1 + 1/2 r

V(K) = [mm] \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \int_{4-r^2}^{1+1/2 r} [/mm] r du dr [mm] d\phi [/mm]
Oder?

Bezug
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