Parameterfunktionen 3. Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:25 Do 15.10.2009 | | Autor: | baumdiagramm |
| Aufgabe | Für alle t>0 ist eine Fkt. [mm] f_{t} [/mm] durch f(x)= t* [mm] (X-X^{2}) [/mm] gegeben. X [mm] \in \IR
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] C_{t}.
[/mm]
a) Gib die Schnittpunkte von [mm] C_{t} [/mm] mit der X-Achse an.
Das Schaubild [mm] K_{t} [/mm] einer ganzrationalen Fkt. [mm] g_{t} [/mm] dritten grades hat mit [mm] C_{t} [/mm] die Schnittpunkte mit der x-Achse gemeinsam. Im linken Schnittpunkt berührt [mm] K_{t} [/mm] die Kurve [mm] C_{t} [/mm] , im rechten Schnittpunkt schneidet [mm] K_{t} [/mm] die Kurve [mm] C_{t} [/mm] rechtwinklig.
Bestimme die Gleichung von [mm] g_{t}.
[/mm]
b) [mm] C_{t} [/mm] und schneiden sich nur auf der x-Achse und begrenzen eine Fläche A(t). Für welches t ist der Flächeninhalt maximal? Was für eine Art Extremum liegt vor?
c) [mm] K_{t} [/mm] besitz außer die mit [mm] C_{t} [/mm] gemeinsamen Achsenschnittpunkte noch einen dritten Schnittpunkt [mm] S_{t} [/mm] mit der x-Achse. Berechnen sie dessen koordinaten. bestimme t so, dass der punkt S ein Wendepunkt von Kt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch Rekonstruktion habe ich für die Gleichung [mm] g_{t} [/mm] (X)= [mm] \bruch{1}{t}(X^{3}-X^{2}) [/mm] erhalten. Kann dies richtig sein?
Falls dies nicht stimmt, würde es erklären, wieso ich bei meiner Extremalwertaufgabe auf ein [mm] t^{2}=-0,5 [/mm] komme.
Wie kann denn eine Funktion dritten Grades 4 Nullstellen haben, da der linke Schnittpunkt wie in a) genannt ein berührpunkt also eine doppelte Nullstelle ist?
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> Für alle t>0 ist eine Fkt. [mm]f_{t}[/mm] durch f(x)= t* [mm](X-X^{2})[/mm]
> gegeben. X [mm]\in \IR[/mm]
> Ihr Schaubild sei [mm]C_{t}.[/mm]
> a) Gib die Schnittpunkte von [mm]C_{t}[/mm] mit der X-Achse an.
> Das Schaubild [mm]K_{t}[/mm] einer ganzrationalen Fkt. [mm]g_{t}[/mm]
> dritten grades hat mit [mm]C_{t}[/mm] die Schnittpunkte mit der
> x-Achse gemeinsam. Im linken Schnittpunkt berührt [mm]K_{t}[/mm]
> die Kurve [mm]C_{t}[/mm] , im rechten Schnittpunkt schneidet [mm]K_{t}[/mm]
> die Kurve [mm]C_{t}[/mm] rechtwinklig.
> Bestimme die Gleichung von [mm]g_{t}.[/mm]
> b) [mm]C_{t}[/mm] und schneiden sich nur auf der x-Achse und
> begrenzen eine Fläche A(t). Für welches t ist der
> Flächeninhalt maximal? Was für eine Art Extremum liegt
> vor?
> c) [mm]K_{t}[/mm] besitz außer die mit [mm]C_{t}[/mm] gemeinsamen
> Achsenschnittpunkte noch einen dritten Schnittpunkt [mm]S_{t}[/mm]
> mit der x-Achse. Berechnen sie dessen koordinaten. bestimme
> t so, dass der punkt S ein Wendepunkt von Kt ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Durch Rekonstruktion habe ich für die Gleichung [mm]g_{t}[/mm] (X)=
> [mm]\bruch{1}{t}(X^{3}-X^{2})[/mm] erhalten. Kann dies richtig
> sein?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Skizziere bitte immer den Weg, auf welchem Du zur Lösung gekommen bist.
Erstens brauchen die, die Dir helfen wollen, dann nicht alles selbst zu überlegen und rechnen, und zweitens kann man gleih schon Fehlerquellen aufspüren.
Dein Funktion g scheint mir nicht zu stimmen, sonst müßten doch die Ableitungen von g und f im im linken Schnittpunkt übereinstimmen (Graphen berühren sich), was nicht der Fall ist.
>
> Falls dies nicht stimmt, würde es erklären, wieso ich bei
> meiner Extremalwertaufgabe auf ein [mm]t^{2}=-0,5[/mm] komme.
>
> Wie kann denn eine Funktion dritten Grades 4 Nullstellen
> haben,
Gar nicht. Wie kommst Du auf 4 Nullstellen?
Gruß v. Angela
> da der linke Schnittpunkt wie in a) genannt ein
> berührpunkt also eine doppelte Nullstelle ist?
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Also mein Ansatz zu a war:
Nullstellen von g sind 1 (rechts) und 0(links).
Deswegen dachte ich an folgende 4 Gleichungen:
I 0=a+b+c+d
II 0=d
III [mm] \bruch{1}{t}=3ax^2 [/mm] +2bx+c
IV 0=3a*0 +2b*0 +c --> c=0
IV dachte ich sei"im linken Schnittpunkt berühren sich die beiden Kurven" Wieso sollte ich hier die ableitungen gleichsetzten? Ich dachte in einem berührpunkt sei der Anstieg gleich null.
Aus diesem grund (berührpunkt) kam ich auch auf die 4 Nullstellen, denn ich habe den Berührpunkt als doppelte NS, also als 2 NS gezählt.
Ist dies soweit richtig?
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Also:
I kommt von der rechten NS.
II von der linken.
III ist von der rechten NS, bei ein rechtwinkliger Schnitt stattfindet. Somit habe ich den Anstieg von C zum negativenn Kehrwert umgedreht:
f' (X) =t- 2t
es muss also heißen:
[mm] \bruch{-1}{t-2tx} [/mm] = [mm] 3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
wobei die rechte seite der gleichung g'(x) ist.
Für x setzte ich nun die Stelle 1 ein, löse den Bruch auf -->
1=3at+2bt+ct
IV kommt daher das ich wohl einen Fehler machte.
Beim linken Punkt berühren sich die grafen. Der Vergleich mit der Tangente ist einleuchtend :) ( Wie kommt den der "daumen hoch" dahin?)
Es muss also für IV lauten: (???stimmt das?)
f' = t-2tx an der Stelle 0--> t
[mm] g'=3ax^{2}+2bx+c [/mm] an der Stelle 0 --> g'(0)=c
ergo:
IV c=t
Moment stimmt dies?
Danke im vorraus
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hallo
ersteinmal Entschuldigung, ich bevorzuge sonst auch die Schreibweise "GRAPH" in der Mathematik. Was hat mich nur da geritten? Ups:)
Aus meinen 4 Funktionen komme ich zu einer [mm] g_{t} [/mm] (x) = [mm] (t^{-1} +t)*x^{3}-(t^{-1} +2t)*x^{2}+tx
[/mm]
Stimmt dies soweit?
Zur Aufgabe b)
Ich habe nun das [mm] \integral_{0}^{1}{f_{t}(x) - g_{t}(x) dx} [/mm] gebildet.
Dadurch das die untere grenze 0 ist, kam ich zu A= F(1) = [mm] \bruch{1}{12} [/mm] t [mm] +\bruch{1}{12}+t^{-1}
[/mm]
Durch Ableiten kam ich zu einem lokalen Extrempunkt der Funktion A(t) bei 1 (die 2. Lösung -1 entfiel auf Grund des DB von t).
Bei 1 ist [mm] A_{t}''(1)=\bruch{1}{6} [/mm] -->Minimum.
Bei der Aufgabe c bin ich nun aber verzweifelt, davor sah alles noch so schön logisch aus.
Beim Berechnen der Wertetabelle für das Zeichnen der Graphen [mm] C_{1} [/mm] und [mm] K_{1} [/mm] ergab sich eine Nullstelle von [mm] K_{1} [/mm] bei 0,5.
nun weiß ich aber nicht, ob das stimmt, wenn ich einfach [mm] g_{t} [/mm] '' bilde und gleich null setze und für x=0,5 einsetze. Denn x=0,5 ist ja nur bei [mm] K_{1} [/mm] nicht aber für jedes t von [mm] K_{t} [/mm] die Nullstelle oder?
Nun für meinen Versuch mit für x=0,5 einsetzetzen und t ausrechnen kam ich auf ein t=O. Aber dies würde zu einer konstanten Funktion von [mm] g_{t}(x)=0 [/mm] führen, was doch etwas abwegig ist, denn diese Funktion hat wohl kaum Wendepunkte :)
Wie kann ich denn die Nullstelle [mm] g_{t}(x) [/mm] in abhängigkeit von t ausdrücken? Ich dachte so, dass da [mm] x_{1}=0 x_{2}= [/mm] 1 konstant ist, müsste ich wohl eine Polynomdivision ausführen. Das kann ich aber leider nicht, wenn da so viele t und [mm] t^{-1} [/mm] als Koeffizienten in der Funktion [mm] g_{t}(x) [/mm] auftauchen.
Was könnte denn nun der richtige Lösungsweg sein?
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Hallo baumdiagramm,
> hallo
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> ersteinmal Entschuldigung, ich bevorzuge sonst auch die
> Schreibweise "GRAPH" in der Mathematik. Was hat mich nur da
> geritten? Ups:)
>
> Aus meinen 4 Funktionen komme ich zu einer [mm]g_{t}[/mm] (x) =
> [mm](t^{-1} +t)*x^{3}-(t^{-1} +2t)*x^{2}+tx[/mm]
>
> Stimmt dies soweit?
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zur Aufgabe b)
> Ich habe nun das [mm]\integral_{0}^{1}{f_{t}(x) - g_{t}(x) dx}[/mm]
> gebildet.
>
> Dadurch das die untere grenze 0 ist, kam ich zu A= F(1) =
> [mm]\bruch{1}{12}[/mm] t [mm]+\bruch{1}{12}+t^{-1}[/mm]
>
> Durch Ableiten kam ich zu einem lokalen Extrempunkt der
> Funktion A(t) bei 1 (die 2. Lösung -1 entfiel auf Grund
> des DB von t).
> Bei 1 ist [mm]A_{t}''(1)=\bruch{1}{6}[/mm] -->Minimum.
>
> Bei der Aufgabe c bin ich nun aber verzweifelt, davor sah
> alles noch so schön logisch aus.
> Beim Berechnen der Wertetabelle für das Zeichnen der
> Graphen [mm]C_{1}[/mm] und [mm]K_{1}[/mm] ergab sich eine Nullstelle von
> [mm]K_{1}[/mm] bei 0,5.
> nun weiß ich aber nicht, ob das stimmt, wenn ich einfach
> [mm]g_{t}[/mm] '' bilde und gleich null setze und für x=0,5
> einsetze. Denn x=0,5 ist ja nur bei [mm]K_{1}[/mm] nicht aber für
> jedes t von [mm]K_{t}[/mm] die Nullstelle oder?
Richtig.
> Nun für meinen Versuch mit für x=0,5 einsetzetzen und t
> ausrechnen kam ich auf ein t=O. Aber dies würde zu einer
> konstanten Funktion von [mm]g_{t}(x)=0[/mm] führen, was doch etwas
> abwegig ist, denn diese Funktion hat wohl kaum Wendepunkte
> :)
>
> Wie kann ich denn die Nullstelle [mm]g_{t}(x)[/mm] in abhängigkeit
> von t ausdrücken? Ich dachte so, dass da [mm]x_{1}=0 x_{2}=[/mm] 1
> konstant ist, müsste ich wohl eine Polynomdivision
> ausführen. Das kann ich aber leider nicht, wenn da so
> viele t und [mm]t^{-1}[/mm] als Koeffizienten in der Funktion
> [mm]g_{t}(x)[/mm] auftauchen.
>
> Was könnte denn nun der richtige Lösungsweg sein?
Nun, Du kannst hier ansetzen mit
[mm]g_{t}\left(x\right)=\left(a*x+b\right)*\left(x^{2}-x\right)[/mm]
Dies Ausmultiplizieren und vergleichen mit
[mm]g_{t}\left(x\right)=(t^{-1} +t)*x^{3}-(t^{-1} +2t)*x^{2}+tx[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo!
Vielen dank erstmal :)
Ich würde gerne wissen was $ [mm] g_{t}\left(x\right)=\left(a\cdot{}x+b\right)\cdot{}\left(x^{2}-x\right) [/mm] $
für ein Ansatz ist? Wie komme ich darauf und für was stehen a und b?
Und wie vergleiche ich mathematisch?
Das ist mir nun schon echt unangenehm, tut mir leid,...
Liebe Grüße
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Hallo baumdiagramm,
> Hallo!
> Vielen dank erstmal :)
>
> Ich würde gerne wissen was
> [mm]g_{t}\left(x\right)=\left(a\cdot{}x+b\right)\cdot{}\left(x^{2}-x\right)[/mm]
Ein Polynom kannst Du immer in ein Produkt ihrer ![[]](/images/popup.gif) Linearfaktoren zerlegen.
Ein Linearfaktor hat die Form [mm]\left(x-a_{1}\right)[/mm],
wobei hier [mm]a_{1}[/mm] eine Nullstelle ist.
Für ein Polynom p 3. Grades gilt dann:
[mm]p\left(x\right)=c*\left(x-a_{1}\right)*\left(x-a_{2}\right)*\left(x-a_{3}\right)[/mm]
, wobei c ein konstanter Faktor ist
und [mm]a_{i}, \ i=1,2,3[/mm] die Nullstellen des Polynoms p.
>
> für ein Ansatz ist? Wie komme ich darauf und für was
> stehen a und b?
a und b sind hier die Unbekannten, die es zu bestimmen gilt.
Konkret wurde hier [mm]c*\left(x-a_{1}\right)[/mm] zusammengefasst zu ax+b.
>
> Und wie vergleiche ich mathematisch?
Nun, zwei Polynome sind identisch,
wenn sie die gleichen Koeffizienten haben.
>
> Das ist mir nun schon echt unangenehm, tut mir leid,...
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:18 Fr 16.10.2009 | | Autor: | baumdiagramm |
Hallo!
>
> Ein Polynom kannst Du immer in ein Produkt ihrer
> Linearfaktoren
> zerlegen.
Soweit ist mir das klar, aber das finde ich ungemein schwer, denn ist das wirklich praktisch anwendbar, wenn Parameter vorkommen?
> Ein Linearfaktor hat die Form [mm]\left(x-a_{1}\right)[/mm],
> wobei hier [mm]a_{1}[/mm] eine Nullstelle ist.
>
> Für ein Polynom p 3. Grades gilt dann:
>
> [mm]p\left(x\right)=c*\left(x-a_{1}\right)*\left(x-a_{2}\right)*\left(x-a_{3}\right)[/mm]
>
> , wobei c ein konstanter Faktor ist
> und [mm]a_{i}, \ i=1,2,3[/mm] die Nullstellen des Polynoms p.
Ja Moment, woher weiß ich denn was der konst. Faktor c ist? Ich habe in meiner Aufgabe nur Koeffizienten --> in meinem Fall fällt der weg?
>
> a und b sind hier die Unbekannten, die es zu bestimmen
> gilt.
>
> Konkret wurde hier [mm]c*\left(x-a_{1}\right)[/mm] zusammengefasst
> zu ax+b.
>
Wie macht man das?
> >
> > Und wie vergleiche ich mathematisch?
>
>
> Nun, zwei Polynome sind identisch,
> wenn sie die gleichen Koeffizienten haben.
Das klingt auch verwirrend, ich habe echt keine Ahnung...
Das ist mir nun immernoch echt unangenehm, tut mir leid,...
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo baumdiagramm!
> > Ein Polynom kannst Du immer in ein Produkt ihrer
> > Linearfaktoren
> > zerlegen.
>
> Soweit ist mir das klar, aber das finde ich ungemein
> schwer, denn ist das wirklich praktisch anwendbar, wenn
> Parameter vorkommen?
Na klar.
> > Ein Linearfaktor hat die Form [mm]\left(x-a_{1}\right)[/mm],
> > wobei hier [mm]a_{1}[/mm] eine Nullstelle ist.
> >
> > Für ein Polynom p 3. Grades gilt dann:
> >
> >
> [mm]p\left(x\right)=c*\left(x-a_{1}\right)*\left(x-a_{2}\right)*\left(x-a_{3}\right)[/mm]
> >
> > , wobei c ein konstanter Faktor ist
> > und [mm]a_{i}, \ i=1,2,3[/mm] die Nullstellen des Polynoms p.
> Ja Moment, woher weiß ich denn was der konst. Faktor c
> ist? Ich habe in meiner Aufgabe nur Koeffizienten --> in
> meinem Fall fällt der weg?
Wieso soll das wegfallen? Du kennst c doch überhaupt nicht...
> > a und b sind hier die Unbekannten, die es zu bestimmen
> > gilt.
> >
> > Konkret wurde hier [mm]c*\left(x-a_{1}\right)[/mm] zusammengefasst
> > zu ax+b.
> >
> Wie macht man das?
Durch ausmultiplizieren
[mm] $c*(x-a_1) [/mm] = cx - [mm] c*a_1$
[/mm]
Umbenennen: a:= c und b:= [mm] c*a_1
[/mm]
> > > Und wie vergleiche ich mathematisch?
> >
> >
> > Nun, zwei Polynome sind identisch,
> > wenn sie die gleichen Koeffizienten haben.
>
> Das klingt auch verwirrend, ich habe echt keine Ahnung...
> Das ist mir nun immernoch echt unangenehm, tut mir
> leid,...
Das heißt einfach nur, du hast ein Polynom
[mm] 10x^3-7x [/mm] =: h(x)
Und dann hast du noch ein weiteres Polynom
i(x) := [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
(das ist die allgemeine Form eines Polynom dritten Grades)
Die Koeffizienten sind jetzt a,b,c und d. Und wenn nun Gleichheit für h(x) und i(x) gelten soll, musst du wohl a=10, b=0, c=-7 und d=0 setzen.
So ist es auch in deiner Aufgabe gemeint
Mfg
Disap
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Nochmal kurz...
im Endeffekt habe ich nun aber trotzdem nichts verändert und sehe keine Nullstellen :(
Was soll ich nur tun?
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Hallo baumdiagramm,
> Nochmal kurz...
> im Endeffekt habe ich nun aber trotzdem nichts verändert
> und sehe keine Nullstellen :(
> Was soll ich nur tun?
Durch Vergleich hast Du jetzt die Unbekannten a und b ermittelt.
Demnach hast Du ein lineares Polynom ax+b.
Durch Nullsetzen dieses Polynoms, erhältst Du die Nullstelle.
[mm]ax+b=0 \Rightarrow x= ... [/mm]
Gruss
MathePower
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