Parameterfkt. und Umkehrfkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für jedes t>0 ist eine Funktion [m]g_t(x) = ln (t \frac{2x + 2}{2x - 2})[/m] und [m]D(g_t) = x \in \IR / |x| > 1[/m] gegeben. Untersuchen Sie, ob die Umkehrfunktion [m]\overline {g}_t[/m] existiert und geben Sie für den Fall der Existenz eine Gleichung für [m]\overline {g}_t[/m] an. |
Halli hallo,
meine Frage lautet ob es eine Umkehrfunktion dazu gibt. Grundsätzlich weiß ich, dass eine Umkehrfunktion praktisch sich daraus bildet, in dem man x und y miteinander vertauscht und wieder nach y umstellt.
Somit müsste ja dann meine Anfangsgleichung
[m]x = ln (t \frac{2y + 2}{2y - 2})[/m] lauten.
Nun dachte ich ich kann den Logarithmus Naturalis ja mit der e-Funktion aufheben. Das macht dann:
[m]e^x = (t \frac{2y + 2}{2y - 2})[/m]
Nun könnte ich zwar noch das t rüberholen, aber dann weiß ich nicht mehr weiter.
[m]\frac{e^x}{t} = (\frac{2y + 2}{2y - 2})[/m]
Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 20.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bist du sicher, dass [mm] g_{t}(x) [/mm] so aussieht?
Denn jetzt kann ich kürzen.
$ [mm] g_t(x) [/mm] = ln (t [mm] \frac{2x + 2}{2x + 2})=ln(t) [/mm] $
Und das wäre eine Parallele zur x-Achse, die dementsprechend keine Umkehrfunktion hat.
Ansonsten ist dein Ansatz aber korrekt.
Marius
|
|
|
| |
|
ach ich Vollidiot ... TIPPFEHLER ... der Term unter dem bruchstrich müsste mit einem Minus versehen werden ... [m]2x - 2[/m] in der Ausgangsgleichung bzw. [m]2y - 2[/m] nach dem vertauschen ... btw ... kann ich das nachträglich noch in der Aufgabenstellung und in meinem beitrag ändern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 20.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ach ich Vollidiot ... TIPPFEHLER ... der Term unter dem
> bruchstrich müsste mit einem Minus versehen werden ... [m]2x - 2[/m]
> in der Ausgangsgleichung bzw. [m]2y - 2[/m] nach dem vertauschen
> ... btw ... kann ich das nachträglich noch in der
> Aufgabenstellung und in meinem beitrag ändern?
Idem du deinen Beitrag aufrufst, auf reagieren klickst, und dann auf Artikeltext bearbeiten.
Wenn das nicht klappt, mache ich als Moderator das
Marius
|
|
|
| |
|
Danke M.Rex ... habs gefunden ... aber wie muss ich nun verfahren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 20.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Siehe meide andere Antwort
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 20.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast jetzt [mm] \bruch{e^{y}}{t}=\bruch{2x+2}{2x-2}
[/mm]
Das ganze soll nach x aufgelöst werden.
[mm] \bruch{e^{y}}{t}=\bruch{2x+2}{2x-2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^{y}}{t}=\bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
Und jetzt mach mal die Polynomdivision [mm] (x+1):(x-1)=1+\bruch{2}{x-1}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{e^{y}}{t}=\bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^{y}}{t}=1+\bruch{2}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^{y}}{t}-1=\bruch{2}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{e^{y}-t}{t}=\bruch{2}{x-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{t}{e^{y}-t}=\bruch{x-1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2t}{e^{y}-t}+1=x
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
He Marius ... die Idee an sich hab ich erkannt ... Polynomdivision (hab ich auch begriffen und komm selber drauf *schulterklopf*  ) ... aber ist es nicht Ziel gewesen das y alleine da stehen zu haben? Denn es soll ja fieder eine Funktion herauskommen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 So 20.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Killerchicken!
Tausche nun die Variablen $x_$ und $y_$ aus ... Marius hat halt erst umgeformt, während Du zunächst den Variablentausch vorgenommen hast.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
