Parameterdarstellung v. Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Parameterdarstellungen bestimmen Geraden g, h, k.
Prüfe, ob sie ein Dreieck bilden. Falls ja, berechne Eckpunkte und beschreibe seine Seiten mithilfe von Intervallen der Parameter.
g:x= (1/-4/5)+y * (2/1/-3)
h:x= (1/5/-4)+ u * (1/-4/3)
k:x= (2/1/-1)+ v* (1/-1/0) |
Per Losverfahren wurden wir zu zweier gruppen zusammengefügt. das problem meine partnerin und ich sind mathenullen. wir beide haben aber die aufgabe nächstes mal die lösung vorzutragen. leider haben wir beide keine ahnung wie das geht. kann einer von euchuns vielleicht helfen? ich habe hier jetzt nur aufgabe a reingestellt, weil ich wenn ich eine beispielaufgabe vorgerechnet habe, ich die andern meistens selbst lösen kann. ich dachte vielleicht daran, dass ganze mit gleichsetzen zu lösen.?
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Gleichsetzen ist im Prinzip schon die richtige Idee... Vorher müsst ihr euch aber noch klar machen ob sich die Geraden überhaupt schneiden können, überlegt mal welche verschiedenen Möglichkeiten es für die gegenseitige Lage von zwei Geraden gibt.
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windschief, parallel, identisch und schnittpunkt sind die möglichkeiten oder? aber um zu wissen ob diesich schneiden muss ich doch gleichsetzten oder? sonst weiß ich echt nich wie das geht.
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Hey
> siehe oben
> windschief, parallel, identisch und schnittpunkt sind die
> möglichkeiten oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber um zu wissen ob diesich schneiden
> muss ich doch gleichsetzten oder? sonst weiß ich echt nich
> wie das geht.
Genau gleichsetzen ist hier der richtige Weg. Du kannst ja mal anfangen g und h gleichzusetzen. Dann bekommst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, welches du dann lösen musst.
Gruß Patrick
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ok also wenn ich gleichsetze und das ganze dann mit der matrix funktion des gtr auswerte erhalte ich folgende werte: h= k: 1 0 1
0 1 0
0 0 0
g= h: 1 0 1
0 1 2
0 0 0
g= k: 1 0 2
0 1 3
0 0 0
bis hierhin ist alles klar, aber was sagt mir das jetzt oder was muss ich noch machen???
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> siehe oben
> ok also wenn ich gleichsetze und das ganze dann mit der
> matrix funktion des gtr auswerte erhalte ich folgende
> werte: h= k: 1 0 1
> 0 1 0
> 0 0 0
> g= h: 1 0 1
> 0 1 2
> 0 0 0
>
> g= k: 1 0 2
> 0 1 3
> 0 0 0
> bis hierhin ist alles klar, aber was sagt mir das jetzt
> oder was muss ich noch machen???
daran siehst du doch dass y= 2 ist und u= 3
oder umgekehrt habe es jetzt net nachgerchnet wie du es eingeben hast^^
naja auf jeden fall muss du y und u in die geradengleichung eingben und dann hast du den schnittpunkt
wenn da jetzt in der untern also dritte zeile stehen würde 0 0 1 dann gäbe es keinen schnittpunkt.
hoffe ich konnt dir helfen
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wie bestimmt man denn y und u? also woran sehe ich welche zahl ich einsetzen muss? die lösung muss eine der zahlenreihen sein die ich errechnet habe damit sie sich schneiden? und woher weiß ich ob sie ein dreieck bilden?
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Hallo Julia1988,
> siehe oben
> wie bestimmt man denn y und u? also woran sehe ich welche
> zahl ich einsetzen muss? die lösung muss eine der
> zahlenreihen sein die ich errechnet habe damit sie sich
> schneiden? und woher weiß ich ob sie ein dreieck bilden?
[mm]g:\overrightarrow{x}=\pmat{1 \\ -4 \\ 5}+ y* \pmat{2 \\ 1 \\ -3}[/mm]
[mm]h:\overrightarrow{x}=\pmat{1 \\ 5 \\ -4}+ u* \pmat{1 \\ -4 \\ 3}[/mm]
[mm]k:\overrightarrow{x}=\pmat{2 \\ 1 \\ -1}+ v* \pmat{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
Den Schnittpunkt von g und h bestimmt man folgendermassen:
[mm]\pmat{1 \\ -4 \\ 5}+ y* \pmat{2 \\ 1 \\ -3}=\pmat{1 \\ -5 \\ -4}+ u* \pmat{1 \\ -4 \\ 3}[/mm]
Dies entspricht dem folgenden System von Gleichungen:
[mm]\left(1\right) \ 1+y*2=1+u*1[/mm]
[mm]\left(2\right) \ -4+y*1=-5+u*\left(-4\right)[/mm]
[mm]\left(3\right) \ 5+y*\left(-3\right)=-4+u*3[/mm]
Aus Gleichung (1) ergibt sich:
[mm]1+y*2=1+u*1 \gdw u=y*2[/mm]
Diese eingesetzt in Gleichung (2):
[mm]-4+y*1=5+u*\left(-4\right) \ \Rightarrow -4+y*1=5+y*2*\left(-4\right)[/mm]
[mm]\gdw -4+y*1=5+y*\left(-8\right) [/mm]
[mm] \gdw y*1+y*8=5+4 \gdw y*9=9 \Rightarrow y=1[/mm]
[mm]\Rightarrow u=2*y=2*1=2[/mm]
Nun wird die Gleichung (3) mit den erhaltenen Parametern u,y überprüft:
linke Seite: [mm]5+y*\left(-3\right)=5+1*\left(-3\right)=2[/mm]
rechte Seite: [mm]-4+u*3=-4+2*3=2[/mm]
Da wir [mm]2=2[/mm] erhalten, schneiden sich die Geraden.
Das läuft immer gleich ab:
Aus 2 Gleichungen werden die Parameter ermittelt, die dann anhand der übriggebliebenen Gleichung überprüft werden.
Die Lösungen sind im GTR nach der Auswertung mit der Matrixfunktion ausschliesslich in der 3. Spalte zu finden. Wie mein Vorredner schon schrieb, wenn die letzte Zeile eine Nullzeile ist, dann schneiden sich die Geraden sonst nicht.
Da Du für den Schnitt von g mit h, g mit k und h mit k, jeweils einen anderen Wert für die Parameter u, y, v erhältst bilden diese Schnittpunkte ein Dreieck:
[mm]g \cap h \Rightarrow u=2, \ y=1[/mm]
[mm]g \cap k \Rightarrow y=2, \ v=3[/mm]
[mm]h \cap k \Rightarrow u=1, \ v=0[/mm]
Gruß
MathePower
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