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Hi,
ich muss die Kurve y²=x in Parameterform darstellen, also in der Form [mm] r(t)=\vektor{x(t) \\ y(t)}. [/mm] So, mein Problem ist nun, dass ich weiss, wie man Funktionen parametrisiert darstellt, aber bei der Relation y²=x komme ich auf keine Lösung.
Es soll als Lösung [mm] r(t)=\vektor{ |t| \\ \frac{t}{\sqrt{|t|}} }. [/mm] Aber wie kommt man darauf???
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> Hi,
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> ich muss die Kurve y²=x in Parameterform darstellen, also
> in der Form [mm]r(t)=\vektor{x(t) \\ y(t)}.[/mm] So, mein Problem
> ist nun, dass ich weiss, wie man Funktionen parametrisiert
> darstellt, aber bei der Relation y²=x komme ich auf keine
> Lösung.
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> Es soll als Lösung [mm]r(t)=\vektor{ |t| \\ \frac{t}{\sqrt{|t|}} }.[/mm]
> Aber wie kommt man darauf???
Am besten überlegst du dir erstmal konkrete Punkt. Die Aufösung nach y liefert ja leider erstmal [mm] $\pm \sqrt{x}$. [/mm] Beschränken wir uns zunächst auf die positive Wurzel, so erkennen wir anhand folgender Wertetabelle:
$x=1, y=1; x=2, [mm] y=\sqrt{2}, [/mm] x=3, [mm] y=\sqrt{3}$,
[/mm]
dass wir folgendermaßen parametrisieren können:
x durchläuft alle natürlichen (und natürlich auch reellen, hier im Beispiel nicht gewählt) Zahlen, daher ist wohl x=t gerechtfertigt, wenn $t [mm] \in \IR$ [/mm] gilt. Was gilt nun aber für y? Offenbar durchläuft auch y sehr regelmäßig alle Werte nacheinander, nur müssen wir die Wurzel berücksichtigen. Eine völlig korrekte Wahl wäre
[mm] $y=\sqrt{t}$ [/mm] Formen wir dies weiter um, folgt:
[mm] $\sqrt{t}=\bruch{\sqrt{t}}{1}=\bruch{\sqrt{t}*\sqrt{t}}{\sqrt{t}}=\bruch{t}{\sqrt{t}}$
[/mm]
Betrag folgt dann aus der Generalisierung auch für negative Vorzeichen.
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