Parameter v. linearem Code < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:38 Do 05.06.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IF^{7 \times4 }_2 [/mm] gegeben durch A = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1} [/mm] und es sei C der lineare Code über [mm] \IF_2 [/mm] mit der Erzeugermatrix A.
Bestimmen Sie die Parameter von C. |
Hallo zusammen,
für die obige Teilaufgabe, habe ich in einer vorherigen Teilaufgabe schon die Kontrollmatrix B = [mm] \pmat{1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm] bestimmt. Jetzt ist ja wegen A [mm] \in \IF_2^{7 \times 4} [/mm] C ein [7,4]-Code. Allerdings habe ich bei der Bestimmung des Hammingabstandes Probleme.
Wir haben definiert:
Es seien k [mm] \in [/mm] [1,n], ein linearer [n,k]-Code C über K und eine Kontrollmatrix B für C gegeben, dann ist d(C) = min{r [mm] \in \IN_0 [/mm] | es gibt [mm] j_1,...,j_r \in [/mm] [1,n] mit [mm] j_1 [/mm] < ... < [mm] j_r [/mm] so, dass [mm] (B_{-,j_1}, [/mm] ..., [mm] B_{-,j_r}) [/mm] linear abhängig} = max{r [mm] \in \IN_0 [/mm] | es gibt [mm] j_1,...,j_{r-1} \in [/mm] [1,n] mit [mm] j_1 [/mm] < ... < [mm] j_{r-1} [/mm] ist [mm] (B_{-,j_1}, [/mm] ..., [mm] B_{-,j_{r-1}}) [/mm] linear unabhängig}.
Für meine konkrete Kontrollmatrix B sind aber ja z.B. [mm] B_{-,1}, B_{-,3}, B_{-,5} [/mm] linear unabhängig. Also ist r-1 = 3, also ist r=4, also ist das Maximum aller möglichen r auf jeden Fall schon mal mindestens 4. Im Gegenzug sind aber z.B. [mm] B_{-,1}, B_{-,2} [/mm] linear abhängig. Also ist hier r=2 und das Minimum aller möglichen r also höchstens 2. Nun ist aber ja [mm] 2\not=4 [/mm] wie wir wissen. In der Definition wird aber ja gesagt die Größen seine identisch.
Wo mache ich da den Fehler? Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße,
Avinu
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Hallo,
ihr scheint eine vom Standard abweichende Schreibweise zu benutzen: https://de.wikipedia.org/wiki/Generatormatrix
Ich nehme im weiteren an, dass [mm] $G=A^t$ [/mm] die Erzeugermatrix.
In der Max -menge ist es ein All-quantor, kein Existenzquantor: je (r-1) Spalten sind linear unabhängig.
> Nun ist aber ja [mm]2\not=4[/mm] wie wir wissen.
Das kommt darauf an wo man ist: in [mm] $\mathbb F_2$ [/mm] ist 2=4.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 05.06.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Das mit dem Allquantor und Existenzquantor hätte ich aus der Definition nie heraus gelesen, aber ja, dann macht das Sinn und auch die Formulierung in den Beispielen aus unserem Skript macht dann Sinn. Vielen Dank für die Klarstellung!
Viele Grüße,
Avinu
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