Parameter in der Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mi 01.11.2006 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Für k [mm] \in \IR [/mm] ist f(x)= (1)/(x-1) - (1)/(x-k)
Untersuche den Graphen von f. |
Da ich noch nie so eine Funktionsuntersuchung mit Parametern gemacht habe stell ich mir die Frage wie ich die Polstellen und die Asymptote bestimmen kann.
Außerdem muss ich ja bestimmen ob der Vorzeichenwechsel von + nach - geht oder von - nach +
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 01.11.2006 | | Autor: | bOernY |
Mir sagte grade ein Freund, dass ich irgendwas mit Fallunterscheidung beachten muss... ich habe aber keine Ahnung was er meint
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[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] $f:f(x)=\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x-k},k \in \IR$
[/mm]
> Da ich noch nie so eine Funktionsuntersuchung mit Parametern gemacht habe stell
> ich mir die Frage wie ich die Polstellen und die Asymptote bestimmen kann.
[mm] \text{Das machst du genau so wie immer, nur diesmal in Abhängigkeit von k (Denke dir k als Zahl).}
[/mm]
[mm] \text{Bring' die Funktion aber erst einmal auf die Form, dass du nur noch einen Bruch hast.}
[/mm]
[mm] $f:f(x)=\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x-k}=\bruch{(x-k)-(x-1)}{(x-1)(x-k)}=\bruch{-k-1}{(x-1)(x-k)}$
[/mm]
[mm] \text{1. Ableitungen}
[/mm]
[mm] $f':f'(x)=\left((x-1)^{-1}-(x-k)^{-1}\right)'=-(x-1)^{-2}+(x-k)^{-2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f'':f''(x)=2(x-1)^{-3}-2(x-k)^{-3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f''':f'''(x)=-6(x-1)^{-4}+6(x-k)^{-4}$
[/mm]
[mm] \text{2. Nullstellen des Zählers}
[/mm]
[mm] \text{HB:}\quad $f(x_{0})=0$\text{.}
[/mm]
$f(x)=0 [mm] \gdw [/mm] -k-1=0$
[mm] \text{Zähler hat keine Nullstellen.}
[/mm]
[mm] \text{3. Nullstellen des Nenners}
[/mm]
$(x-1)(x-k)=0 [mm] \gdw x_{1}=1 \vee x_{2}=k$
[/mm]
[mm] \text{Polstellen bei 1 und bei k.}
[/mm]
[mm] \text{Verhalten an den Polstellen}
[/mm]
[mm] \text{für}\quad $k>1$:\quad$\limes_{x\rightarrow1}f(x)=-\infty [/mm] (x<1) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty [/mm] (x>1)$
[mm] \text{für}\quad $k=1$:\quad$\limes_{x\rightarrow1}f(x)=-\infty [/mm] (x<1) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow1}f(x)=-\infty [/mm] (x>1)$
[mm] \text{für}\quad $k<1$:\quad$\limes_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty [/mm] (x<1) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow1}f(x)=-\infty [/mm] (x>1)$
[mm] \text{Und jetzt noch das Verhalten bei k:}
[/mm]
[mm] \text{für}\quad $k>1$:\quad$\limes_{x\rightarrow k}f(x)=-\infty [/mm] (x<k) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow k}f(x)=+\infty [/mm] (x>k)$
[mm] \text{für}\quad $k=1$\quad $\text{gilt dann ja das Verhalten von gerade.}$
[/mm]
[mm] \text{für}\quad $k<1$:\quad$\limes_{x\rightarrow k}f(x)=+\infty [/mm] (x<k) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow k}f(x)=-\infty [/mm] (x>k)$
[mm] \text{Und da gibt es noch einen Sonderfall für k = 0 und k = -1:}
[/mm]
[mm] \text{für gegen k:}
[/mm]
[mm] \text{für}\quad $k=0$:\quad$\limes_{x\rightarrow k}f(x)=-\infty [/mm] (x<k) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow k}f(x)=+\infty [/mm] (x>k)$
[mm] \text{für}\quad $k=-1$:\quad$\limes_{x\rightarrow k}f(x)=0 [/mm] (x<k) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow k}f(x)=0 [/mm] (x>k)$
[mm] \text{und für gegen 1:}
[/mm]
[mm] \text{für}\quad $k=0$:\quad$\limes_{x\rightarrow 1}f(x)=+\infty [/mm] (x<1) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=-\infty [/mm] (x>1)$
[mm] \text{für}\quad $k=-1$:\quad$\limes_{x\rightarrow 1}f(x)=0 [/mm] (x<1) [mm] \wedge \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=0 [/mm] (x>1)$
[mm] \text{Ich hoffe mal, dass ich mich jetzt nirgendwo vertan habe.}
[/mm]
[mm] \text{Wenn wohl, so möge mich jemand eines besseren belehren.}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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