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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:43 Sa 03.12.2011 | | Autor: | offthegrid |
| Aufgabe | | Sei n=1000. Wie groß muss p gewählt werden, dass [mm] \sum_{k=0}^{100} p^k (1-p)^{n-k} \vektor{n \\ k} \geq [/mm] 0.8? Arbeiten Sie ohne tabellierte Werte. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich diese Frage beantworten, ohne irgendwelche tabellierten Verteilungen zur Rate zu ziehen? Die Näherung mittels Normalverteilung, scheint nicht zweckmäßig, da ich ja nach p auflösen muss und keine Stammfunktion existiert. Auch die Näherung mittels Poissonverteilung scheint wenig zweckmäßig, weil es schwer fallen dürfte, die Summe zu berechnen.
Ich wäre für Vorschläge sehr dankbar!
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Hallo offthegrid,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei n=1000. Wie groß muss p gewählt werden, dass
> [mm]\sum_{k=0}^{100} p^k (1-p)^{n-k} \vektor{n \\ k} \geq[/mm] 0.8?
> Arbeiten Sie ohne tabellierte Werte.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wie kann ich diese Frage beantworten, ohne irgendwelche
> tabellierten Verteilungen zur Rate zu ziehen? Die Näherung
> mittels Normalverteilung, scheint nicht zweckmäßig, da
> ich ja nach p auflösen muss und keine Stammfunktion
> existiert. Auch die Näherung mittels Poissonverteilung
> scheint wenig zweckmäßig, weil es schwer fallen dürfte, die Summe zu berechnen.
Wenn ihr mit Näherungen arbeiten dürft, dann wäre das wohl trotzdem das Mittel der Wahl (auch wenn man p so zunächst nur näherungsweise erhält). Für große n gilt
[mm] \binom{n}{k}p^n(1-p)^{n-k}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
[/mm]
mit [mm] \lambda=np, k\in\{0,\ldots,n\}. [/mm] Dann folgt
(*) [mm] \sum_{k=0}^{100} p^k (1-p)^{n-k} \vektor{n \\ k}\approx\sum_{k=0}^{100}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=1-e^{-\lambda}\sum_{k=101}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=:1-e^{-\lambda}R_{100+1},
[/mm]
hier bezeichnet [mm] R_{n+1}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!} [/mm] das n+1. Reststück der Exponentialreihe.
Für dieses kann man die Abschätzung
[mm] R_{n+1}\leq\frac{2\lambda^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
beweisen. Damit erhält man
[mm] 1-e^{-\lambda}R_{100+1}\geq1-e^{-\lambda}\frac{2\lambda^{100+1}}{(100+1)!}
[/mm]
und kann nun versuchen die Ungleichung [mm] 1-e^{-\lambda}\frac{2\lambda^{100+1}}{(100+1)!}\geq0,8 [/mm] nach p aufzulösen. Dieser Weg ist möglicherweise nicht der übliche, deswegen bleibt die Frage teilweise beantwortet.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 04.12.2011 | | Autor: | offthegrid |
Vielen Dank für deine Antwort. So etwas in diese Richtung habe ich mir auch schon überlegt, dachte jedoch dass diese Restgliedabschätzungen meist doch eher unbefriedigend genau sind und das Ergebnis so schon sehr verfälscht wird. Naja ich versuche das jetzt mal damit und überprüfe mal, wie weit das dann abweicht.
Danke!
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