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Hallo an alle Geometer !
Im Zusammenhang mit einer Aufgabe zur archimedischen
Spirale (https://matheraum.de/read?i=869324)
bin ich auf eine nach meiner Ansicht interessante Frage
gestoßen:
Gibt es eine ebene Spirale, die ihre eigene Parallelkurve ist ?
Die archimedische Spirale mit
$\ [mm] r(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] a*\varphi$ [/mm]
erfüllt diese Forderung zwar nach einigen Umläufen
ungefähr, und asymptotisch für große Radien, also
für [mm] \varphi\to\infty [/mm] .
Effektiv ist aber der Abstand eines Punktes der Spirale
von der nächst-inneren Windung der Kurve nicht
konstant. Der "Weg" zwischen den Windungen ist
also nicht überall gleich breit.
Nun stellt sich die Frage, ob es möglich wäre, eine
Spirale mit dieser Eigenschaft der "konstanten Breite"
zu definieren. Wir könnten z.B. Folgendes verlangen:
Wird in einem Punkt der Spirale der nach außen zeigende
Normalen-Einheitsvektor errichtet, so ist der damit
erreichte Punkt (Spitze des Vektors) stets wieder ein
Punkt der Spirale. Die "Spirale" darf natürlich nicht
eine Schar konzentrischer Kreise sein, sondern muss
eine zusammenhängende Kurve sein.
Erwünscht wäre also entweder
[mm] \bullet [/mm] eine Gleichung für eine "Parallelspirale"
oder
[mm] \bullet [/mm] ein Existenzbeweis für eine "Parallelspirale"
oder
[mm] \bullet [/mm] ein Beweis der Nichtexistenz der "Parallelspirale"
Viel Spaß beim Tüfteln !
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Mi 22.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Gibt es eine ebene Spirale, die ihre eigene Parallelkurve
> ist ?
Bevor ich das Tuefteln anfange - was genau versteht man unter Spirale und Parallelkurve? Vor allem Spirale waere interessant - ich konnte mir per Google/Wiki keinen genauen Reim drauf machen; ich wuerde eine Spirale am ehesten so definieren: Sei [mm]r:\IR\to \IR^+[/mm] eine diff.bare, streng monotone Abbildung, dann ist [mm]\IR\to \IC,\phi\mapsto r(\phi)e^{\phi i}[/mm] eine Spirale. Paralellkurve dann als Kurve bzgl. Einheitennormalenvektor waere dann kein Problem imo - sollte dann [mm]i\cdot\dot{r}/{||\dot{r}||}+r[/mm] sein.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Do 23.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo Secki
es ist nicht eine Parallelkurve zu einer spirale gesucht, sondern EINE Spirale wo jede Windung von der nachsten in jedem Punkt denselben abstand hat, also so was we ne spirale, die aus konzentrischen kreisen bestünde, aber dann ists keine Spirale mehr.
Also ist eher ein Nichtexistenzbeweis gesucht.
Gruss leduart
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> > Gibt es eine ebene Spirale, die ihre eigene Parallelkurve
> > ist ?
>
> Bevor ich das Tuefteln anfange - was genau versteht man
> unter Spirale und Parallelkurve? Vor allem Spirale waere
> interessant - ich konnte mir per Google/Wiki keinen genauen
> Reim drauf machen; ich wuerde eine Spirale am ehesten so
> definieren: Sei [mm]r:\IR\to \IR^+[/mm] eine diff.bare, streng
> monotone Abbildung, dann ist [mm]\IR\to \IC,\phi\mapsto r(\phi)e^{\phi i}[/mm]
> eine Spirale. Paralellkurve dann als Kurve bzgl.
> Einheitennormalenvektor waere dann kein Problem imo -
> sollte dann [mm]i\cdot\dot{r}/{||\dot{r}||}+r[/mm] sein.
>
> SEcki
Hallo SEcki,
Spiralen gibt es viele - speziell bekannt sind die
Archimedische Spirale mit [mm] r(\varphi)=a*\varphi [/mm] sowie die
logarithmische Spirale mit [mm] r(\varphi)=a^{\varphi} [/mm] .
Ferner etwa hyperbolische Spirale, Fermatsche Spirale,
Klothoide etc.
Gesucht wäre nun eine Spirale mit einer Eigenschaft,
welche keine der allgemein bekannten Spiralen (mit
einfachen Formeln) hat. Sie soll eben ihre eigene
Parallelkurve sein, d.h. für jeden ihrer Punkte (durch
die komplexe Zahl [mm] r(\varphi) [/mm] dargestellt) soll es einen
Wert [mm] \psi [/mm] geben mit
$\ [mm] r(\psi)=r(\varphi)-i*\frac{\dot{r}(\varphi)}{\parallel \dot{r}(\varphi) \parallel}$
[/mm]
Die Aufgabe ist insofern "offen", als ihre Lösbarkeit
wohl noch abhängig ist von der Art der Forderungen,
die man an die Kurve bzw. ihre Gleichung stellen will.
Darüber will ich allerdings noch nichts Näheres sagen ...
LG Al-Chw.
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Hinweis:
es gibt natürlich viele Kurven der gewünschten Art, falls
man nicht allzu strenge Forderungen stellt. Eigentlich
genügt es ja, eine einzige Windung der Spirale von einem
Punkt A bis zum nächsten Punkt B der Spirale zu definieren,
welcher auf der Kurvennormale [mm] n_A [/mm] durch A liegt. Dabei
soll [mm] n_A [/mm] mit [mm] n_B [/mm] übereinstimmen, und die Punkte sollen
den Abstand [mm] |\overline{AB}|=1 [/mm] haben. Die Fortsetzung der Spirale
ergibt sich dann aus der Parallelkurveneigenschaft.
Bei der Wahl des Kurvenbogens von A bis B hat man im
Übrigen eine große (nämlich unendliche) Freiheit.
Man könnte z.B. den Bogen [mm] \overset{\frown}{AB} [/mm] aus zwei Halbkreisen
mit den Radien [mm] \frac{1}{2} [/mm] und 1 zusammensetzen. Die entstehende
Spirale hat dann aber den gravierenden Schönheitsfehler,
dass sie an den Nahtstellen zwischen den Halbkreis-
bögen unterschiedlicher Radien keine stetige zweite
Ableitung hat.
Diesen Makel kann man durch andere Definitionen
des Bogens [mm] \overset{\frown}{AB} [/mm] vermeiden und hat dabei
immer noch eine sehr große Freiheit im Detail.
Aus den vielen möglichen "Parallelspiralen" sticht aber
trotzdem eine heraus, welche nicht stückweise, sondern
durch eine einheitliche Darstellung definiert werden kann.
Sie gehört übrigens auch zu den "gängigen" Kurven ...
LG Al-Chw.
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> Gibt es eine ebene Spirale, die ihre eigene Parallelkurve ist ?
>
> Die archimedische Spirale mit
>
> [mm]\ r(\varphi)\ =\ a*\varphi[/mm]
>
> erfüllt diese Forderung zwar nach einigen Umläufen
> ungefähr, und asymptotisch für große Radien, also
> für [mm]\varphi\to\infty[/mm] .
> Effektiv ist aber der Abstand eines Punktes der Spirale
> von der nächst-inneren Windung der Kurve nicht
> konstant. Der "Weg" zwischen den Windungen ist
> also nicht überall gleich breit.
> Nun stellt sich die Frage, ob es möglich wäre, eine
> Spirale mit dieser Eigenschaft der "konstanten Breite"
> zu definieren. Wir könnten z.B. Folgendes verlangen:
> Wird in einem Punkt der Spirale der nach außen zeigende
> Normalen-Einheitsvektor errichtet, so ist der damit
> erreichte Punkt (Spitze des Vektors) stets wieder ein
> Punkt der Spirale. Die "Spirale" darf natürlich nicht
> eine Schar konzentrischer Kreise sein, sondern muss
> eine zusammenhängende Kurve sein.
Hallo zusammen !
die eleganteste Lösungskurve ist natürlich die
![[]](/images/popup.gif) Kreisevolvente (Involute of a circle).
Dazu und zu einem etwas weiteren Themenkreis habe ich eine
Seite mit inspirierenden Animationen gefunden:
Courbes auto-parallèles
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 08.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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