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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Sa 02.07.2005 | | Autor: | drzero |
Hallo, Ihr Matheversteher!
Am Montag ist meine dicke Klausur *zitter*...
Folgende Aufgabe:
"
Bei einer Parallelprojektion wird das Achsenkreuz [mm] \pmat{ \vec{x} \\ \vec{y} \\ \vec{z} } [/mm] auf die punkte
[mm] \pmat{ -(1/2) \\ -(1/2) } [/mm] und [mm] \pmat{ 1/2 \\ -(1/2) } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] abgebildet.
a) Zeichnen Sie das Achsenkreuz und geben Sie die Abbildungsmatrix M an.
b) Bestimmen Sie die Projektionsrichtung [mm] \vec{p}
[/mm]
"
Soweit bin ich:
Da ich aus dem dreidimensionalen Raum in den zweidmensionalen Raum projeziere, muss meine Matrix eine 2x3 Matrix sein.
a) gemalt bekomme ich das ohne Probleme.
Die Matrix M sieht bei mir so aus:
M= [mm] \pmat{ -(1/2) & (1/2) & 0 \\ -(1/2) & -(1/2) & 1}
[/mm]
das dürfte auch noch stimmen.
JETZT ABER:
zur Projektionsrichtungsbestimmung habe ich folgende Formel gefunden:
[mm] \pmat{ 0 & } [/mm] = M [mm] \* \vec{p} [/mm] = [mm] \pmat{ n & n & n \\ n & n & n \\ n & n & n } \pmat{ \p_{1} & \p_{2} & \p_{3} }
[/mm]
Und nun komme ich nicht mehr weiter... Ihr?
Vielen Dank schonmal, auch für die bisherige Hilfe 
MFG, die "Mathe-Eintagsfliege" drzero
PS: Dieses hier habe ich nirgendwo sonst...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 So 03.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich weiß zwar nicht genau, was du da alles vorher machst, aber es sieht schonmal sehr gut nach einer linearen Abbildung aus.
wenn du jetzt :
>
> [mm]\pmat{ 0 & }[/mm] = M [mm]\* \vec{p}[/mm] = [mm]\pmat{ n & n & n \\ n & n & n \\ n & n & n } \pmat{ p_{1} & p_{2} & p_{3} }[/mm]
meinst : $ [mm] 0=M*\vec{p} [/mm] = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\ -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{ p_1 \\ p_2 \\ p_3 } [/mm] $
dann ist die Lösung zwar nicht eindeutig, aber alle Lösungsvektoren liegen auf einer Geraden,
wenn man die zweite Zeile der Matrix plus erste Zeile rechnet kommt raus:
$ [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{ p_1 \\ p_2 \\ p_3 }=\vektor{0\\0\\0} [/mm] $
also gilt nun : [mm] p_1 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_1 [/mm] = [mm] P_3
[/mm]
setze [mm] p_1 [/mm] = t (beliebig) , dann ist $ [mm] \{ \vektor{t\\t\\t} \} [/mm] = [mm] \{ t*\vektor{1\\1\\1} \} [/mm] $ die Lösungsmenge.
Aber irgendwie bezweifle ich, dass der Kern die Projektionsrichtung bestimmen soll, also habe ich dich entweder falsch verstanden oder du die Formel, die du gefunden hast.
Mal schauen, was andere davon halten.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 03.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
DaMenges Überlegungen sind goldrichtig!
Wenn man nämlich eine Gerade durch den Ursprung zeichnet, die genau in Projektionsrichtung zeigt, dann wird die ganze Gerade auf den Ursprung projiziert, hat also den Wert [mm] $\vec{0}$ [/mm] . Bei diesem schönen Wetter kann man das ja mit einem Bleistift versuchen, dessen Spitze in Richung Sonne zeigt. Es ist klar, dass das Bleistift (also der Richtungsvektor) nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist.
Mit vielen Grüssen
Paul
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