Parallelogramm < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Das Viereck ABCD ist genau dann ein Parallelogramm,wenn die Vektorengleichungen [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} [/mm] gelten.Begründen Sie diese Aussage anschaulich.Prüfen Sie dann,ob es sich bei dem folgenden Viereck ABCD um ein Parallelogramm handelt.
a) A(-2/1), B(4/-1), C(7/2), D(1/4) |
Hallo zusammen^^
Ich hab diese Aufagbe gemacht,bin jedoch auf ein kleines Problemchen gestoßen.
Also anschaulich könnte man das so begründen,dass ein Parallelogramm nur dann entstehen kann,wenn [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} [/mm] gilt,da die Seiten sonst nicht parallel sindAber das steht eigentlich schon in der Aufgabenstellung,wie soll man das denn sonst begründen???
Und ich hab mir dieses Viereck mal aufgezeichnet und es ist ein Parallelogramm,aber wenn ich die Vektoren berechne,sind sie nicht ganz gleich,also [mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{6 \\ -2},\overrightarrow{DC}=\vektor{6 \\ -2},die [/mm] sind schon mal gleich.
[mm] \overrightarrow{AD}=\vektor{-3 \\ -3}, \overrightarrow{BC}=\vektor{3 \\ 3}.Die [/mm] beiden sind aber nicht gleich,das Vorzeichen ist anders,aber kann es dann trotzdem ein Parallelogramm sein?Wenn ich es nämlich aufzeichne sieht es aus wie eins.Aber in der Aufgabe steht ja was anderes,das versteh ich nicht so ganz???
vielen dank für eure Hilfe
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Sa 07.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
man kann deine Aufgabe allgemein beweisen. Jetzt zum Beispiel für den [mm] R^2.
[/mm]
Sobald AB=DC ist muss Auch AD=BC gelten. Einen Beweis findets du hier :
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/148915,15.html
Zu deiner zweiten Frage :
Es ist bei Paralellogrammen meist ein bisschen schwer. Wenn du schon mal die richtigen Vektoren für AB und DC hast heisst das ( in deinen Fall), dass A über B liegt und D über C. Würdest du beispielsweise AB und CD berechnen so würdest du einmal kommen auf [mm] \pmat{ 6 \\ -2} [/mm] und dann auf [mm] \pmat{ -6 \\ 2} [/mm] letzteres nennt man den so genannten Gegenvektor. Das ist nicht schlimm, da es der gleiche Vektor nur in eine andere Richtung ist. Insofern ist es ein Parallelogramm, du musst nur gucken, dass du wenn du die zweite Seite ausrechnest also AD und BC nicht einmal den hohen Punkt vom Tiefen und einmal den Tiefen Puntk vom hohen abziehst, dann passiert nämlich das worüber du dich jetzt gewundert hast. Insgesamt musst du ja das Paralelogramm erst zeichen um zu sehen ob A jetzt mit C oder mit D verbunden ist , aber das hast du ja bereits gemacht.
klar jetzt?
|
|
|
|
