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Parabelnormale: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Di 12.04.2005
Autor: Stroganoff

Liebe Gemeinde,

ich habe auf Zensur diverse Aufgaben zu lösen und komme an einer Stelle nicht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:

_________________________
P(u|v) sei ein Punkt auf der Parabel p mit der Gleichung

[mm]y=-\bruch{1}{4}x^2+x+2[/mm]

Die Parabelnormale in P schneide die x-Achse in A, die Parallele zur y-Achse durch P schneidet die x-Achse in B.
Bestimmen Sie u mit [mm] 2 _________________________

Punkt B ist ja relativ einfach: [mm]B\left(u|p(u)\right)[/mm], aber mit Punkt A komme ich leider gerade überhaupt nicht voran.

Mein bisheriger Ansatz ist der folgende, aber ich habe das Gefühl, damit sehr auf dem Holzweg zu sein:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hat jemand eine Idee, wie hier vorzugehen ist?
Ich wäre für jeden Hinweis mindestens sehr dankbar.

Ich habe diese Frage übrigens in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Parabelnormale: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Di 12.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Stroganoff,

zunächst ein [willkommenmr] !!


>  P(u|v) sei ein Punkt auf der Parabel p mit der Gleichung
>  
> [mm]y=-\bruch{1}{4}x^2+x+2[/mm]
>  
> Die Parabelnormale in P schneide die x-Achse in A, die
> Parallele zur y-Achse durch P schneidet die x-Achse in B.
>  Bestimmen Sie u mit [mm]2
> von [mm]\overline{AB}[/mm] ein relatives Maximum annimmt.
>  _________________________
>  
> Punkt B ist ja relativ einfach: [mm]B\left(u|p(u)\right)[/mm],

[notok] Der Punkt $B$ ist ja der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Er hat also die Koordinaten [mm]B\left( \ u \ | \ \red{0} \ \right)[/mm] !


Bei der Steigung der Normalen hast Du Dich verrechnet.

Es gilt ja: [mm] $m_n [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{p'(u)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{0,5u \red{-} 1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{u \red{-} 2}$ [/mm]


Gemäß der Punkt-Steigungs-Form gilt nun:

[mm] $\bruch{y-y_P}{x-x_P} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-p(u)}{x-u} [/mm] \ = \ [mm] m_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{u-2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

$y \ = \ g(x) \ = \ [mm] \bruch{2}{u-2}*(x-u) [/mm] + p(u)$


Für die gesuchte x-Koordinaten des Punktes $A$ müssen wir nun die Nullstelle dieser Geradengleichung ermitteln (wie Du ja richtig erkannt hast):

$0 \ = \ [mm] \bruch{2}{u-2}*\left(x_N-u\right) [/mm] + p(u)$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $x_N [/mm] \ = \ [mm] x_A [/mm] \ = \ [mm] \bruch{[0-p(u)]*(u-2)}{2} [/mm] + u \ = \ [mm] \bruch{-p(u)*(u-2)}{2} [/mm] + u$


Für unsere gesuchte Strecke [mm] $\overline{AB}$ [/mm] gilt ja:

[mm] $d_{AB} [/mm] \ = \ d(u) \ = \ [mm] \left| u - x_N \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| u - \left[ \bruch{-p(u)*(u-2)}{2} + u\right] \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| u - \bruch{-p(u)*(u-2)}{2} - u \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \bruch{p(u)*(u-2)}{2} \right|$ [/mm]

Nun erst brauchen wir den Funktionsterm für $p(u)$ einsetzen und haben sogleich unsere Zielfunktion, mit der wir unsere Extremwertberechnung durchführen können ...


Siehst Du nun etwas klarer?


Ich habe als Ergebnis erhalten [mm] $u_{max} [/mm] \ = \ 4$ (bitte nachrechnen!)

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Parabelnormale: Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:48 Mi 13.04.2005
Autor: Stroganoff

Wow, danke schön. Kaum zu glauben, wieviel Mühe du dir für mich minderbemittelten Pseudo-LKer gemacht hast.
Dein [mm]u_{max}[/mm] ist selbstverständlich korrekt, mein Derive hat das selbe raus. :D

Nochmals: Besten Dank.
Als geringe Gegenleistung gibt es hier einen sehr überzeugenden Text zur Weltlage:
http://www.heise.de/tp/foren/go.shtml?read=1&msg_id=2951496&forum_id=38240
Bezug
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