Parabeln und Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo an alle Mitglieder,
diese Aufgabe habe ich in keinem Forum einer anderen Internetseite gestellt.
Einsetzen der Geradengleichung in die Parabelgleichung führt nach meinen Berechnungen zu der Lösung: [mm] \left( 2\,x + n\right)^2 = 2\,p\,x [/mm]
Formt man die Gleichung [mm] \left( 2\,x + n\right)^2 = 2\,p\,x [/mm] um, ergibt sich [mm] 2^2*x^2 + 2*2*n*x + n^2 = 2*4*x[/mm]
Man erhält die quadratische Gleichung [mm] 4\,x^2 + 2* \left( 2*n-p \right)*x + n^2 = 0 [/mm] mit den Lösungen
[mm] x_1 = \bruch{4-2*n+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm] und
[mm] x_2 = \bruch{4-2*n-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm]
Laut Lösungsbuch kommt aber raus:
[mm] x_1 = \bruch{4-2*4+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm]
[mm] x_2 = \bruch{4-2*4-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm]
Warum steht im Lösungsbuch für das n eine 4 und woher kommt es?
Außerdem steht im Lösungsbuch : Für n > 1 ist die zugehörige Gerade [mm] g_n [/mm] eine Sekante und für n < 1 eine Passante.
Aber ist es nicht anders herum, also für n > 1 eine Passante und für n < 1 eine Passante?
Für die Mühe danke ich schon im Voraus!
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe zuerst einmal die Tangentengleichung an die Parabel bestimmt, mit der Steigung m=2:
[mm] $y=\wurzel{8*x}$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{8}{2*\wurzel{8x}}=2$
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] P\left(\bruch{1}{2};2 \right)
[/mm]
Dann den y-Achsenabschnitt n der Tangenten bestimmen:
[mm] $2=2*\bruch{1}{2}+n$ [/mm] n=1
Tangente: $y=2*x+1$
Für n>1 handelt es sich um Passanten, für n<1 um Sekanten.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm] g_n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel p: y² = [mm] 8\,x [/mm] |
Hallo Martinius und danke für die Antwort.
Du hast die Aufgabe also nicht so wie es im Lösungsbuch steht gelöst, sondern mit der Ableitung der Parabelgleichung.
Im Lösungsbuch führte das Einsetzen der Geradengleichung in die Parabelgleichung zu den Lösungen:
[mm] x_1 = \bruch{4-2*4+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm]
[mm] x_2 = \bruch{4-2*4-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2} [/mm]
Laut Lösungbuch: In Abhängigkeit der Diskriminante 16 - 16n erhält man:
Für n > 1 ist die zugehörige Gerade [mm] g_n [/mm] eine Sekante, für n = 1 eine Tangente und für n < 1 eine Passante.
Nur warum handelt es sich für n>1 um Passanten, für n<1 um Sekanten.
Wo setzt du denn die Zahlen für n ein, um auf die Passante und Sekante zu kommen?
Bei der Sekante muss es doch zwei Lösungen geben, aber du hast doch nur eine Gleichung [mm] $2=2*\bruch{1}{2}+n$ [/mm] erhalten,
wie willst du dann für n<1 zwei Lösungen rausbekommen.
matherein
|
|
|
| |
|
Hallo mathrein,
> Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen
> Geraden [mm]g_n : y = 2\,x + n[/mm] Sekanten, Tangenten oder
> Passanten der Parabel p: y² = [mm]8\,x[/mm]
> Hallo Martinius und danke für die Antwort.
>
> Du hast die Aufgabe also nicht so wie es im Lösungsbuch
> steht gelöst, sondern mit der Ableitung der
> Parabelgleichung.
>
> Im Lösungsbuch führte das Einsetzen der Geradengleichung in
> die Parabelgleichung zu den Lösungen:
>
> [mm]x_1 = \bruch{4-2*4+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
>
> [mm]x_2 = \bruch{4-2*4-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
Das soll doch bestimmt so heißen:
[mm]x_1 = \bruch{4-2*\red{n}+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
[mm]x_2 = \bruch{4-2*\red{n}-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
>
> Laut Lösungbuch: In Abhängigkeit der Diskriminante 16 - 16n
> erhält man:
>
> Für n > 1 ist die zugehörige Gerade [mm]g_n[/mm] eine Sekante, für n
> = 1 eine Tangente und für n < 1 eine Passante.
>
> Nur warum handelt es sich für n>1 um Passanten, für n<1 um
> Sekanten.
Maßgebend hierfür ist der Ausdruck unter der Wurzel. Dieser ist ja nur definiert, wenn [mm]16-16*n \ge 0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]16-16*n \ge 0[/mm]
[mm]\gdw 16*\left(1-n\right) \ge 0[/mm]
[mm]\gdw 1-n \ge 0[/mm]
[mm]\Rightarrow 1 \ge n \gdw n \le 1[/mm]
Somit erhalten wir nur für [mm]n \le 1[/mm] Lösungen:
Jetzt wird eine Fallunterscheidung nach n gemacht:
i) [mm]n<1 \Rightarrow 16-16*n > 0[/mm]
Hier erhält man nun 2 Lösungen, was auf Sekanten schliessen läßt.
ii) [mm]n=1 \Rightarrow 16-16*n=0[/mm]
Es gibt hier nur eine Lösung, d.h. es gibt eine Tangent.
iii) [mm]n>1 \Rightarrow 16-16*n<0[/mm]
Hier gibt es keine Lösungen, d.h. die Geraden, die man hier erhält, sind Passanten.
>
> Wo setzt du denn die Zahlen für n ein, um auf die Passante
> und Sekante zu kommen?
>
> Bei der Sekante muss es doch zwei Lösungen geben, aber du
> hast doch nur eine Gleichung [mm]2=2*\bruch{1}{2}+n[/mm] erhalten,
> wie willst du dann für n<1 zwei Lösungen rausbekommen.
Siehe die obigen Lösungsformeln für [mm]x_{1}[/mm] bzw. [mm]x_{2}[/mm]
Für [mm]n < 1 [/mm] ist der Ausdruck [mm]16-16*n > 0[/mm], daher gibt es auch zwei verschiedene x-Werte.
>
> matherein
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 28.06.2008 | | Autor: | matherein |
Danke für die ausführliche Antwort MathePower!
matherein
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo MathePower,
wie kamst du eigentlich bei der Lösung der Gleichung (2x +n)² = 8x auf
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4 -2n \pm \wurzel{4(4-4n)}}{4}?
[/mm]
Etwa mit der abc-Formel beziehungsweise pq-Formel?
Ich meinerseits habe mich streng nach dem Lösungsweg im Buch gehalten:
(mx+n)² = 2px
m²x² +2mnx +n² = 2px
Man erhält die quadratische Gleichung m²x² +2(mn-p)x +n² = 0 mit den
Lösungen [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{p -mn \pm \wurzel{p(p-2mn)}}{m²}?
[/mm]
Eingesetzt ergibt das:
(2x+n) = 2*4*x
4x² + 4nx +n² = 8x
4x² +2*(2n -4)x +n² = 0
Als Lösungen bekomme ich dann auch wie im Buch angegeben:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4 -2n \pm \wurzel{4(4-4n)}}{4}
[/mm]
Wie komme ich auf diese Lösung aber mit der abc-Formel?
LG
matherein
|
|
|
| |
|
Hallo matherein,
hier. siehe beispielsweise meine letzte antwort.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n [/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der Parabel P: [mm] y^2 = 8\,x? [/mm] |
Hallo!
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind doch
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{4-2n \pm \wurzel{4(4-4n)}}{4} [/mm] und nicht
[mm] \bruch{8-4n\pm\wurzel{64-64n}}{8}
[/mm]
matherein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Sa 26.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Beide Lösungen sind identisch
$ [mm] \bruch{8-4n\pm\wurzel{64-64n}}{8} [/mm] $
[mm] =\bruch{8-4n\pm\wurzel{4(16-16n)}}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{8-4n\pm2*\wurzel{(16-16n)}}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{2*\left(4-2n\pm\wurzel{4(4-4n)}\right)}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{4-2n\pm\wurzel{4(4-4n)}}{4}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 26.07.2008 | | Autor: | matherein |
Vieeeeeeeeeeelen Dank Marius.
Das wollte ich wissen!!!:)
LG
matherein
|
|
|
| |
|
> Für welche reellen Zahlen n sind die zueinander parallelen
> Geraden [mm]
g _n : y = 2\,x + n[/mm] Sekanten, Tangenten oder Passanten der
> Parabel P: [mm]y^2 = 8\,x?[/mm]
> [mm]x_1 = \bruch{4-2*n+\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
> und
>
> [mm]x_2 = \bruch{4-2*n-\wurzel{4*\left( 4-2*2*n \right)}} { 2^2}[/mm]
Hallo,
wenn ich auch in Deiner Rechnung das p, welches plötzlich vom Himmel fällt , sehr seltsam finde, so stimmt Dein Ergebnis jedenfalls mit meinem überein. Man könnte es noch schöner schreiben, das mache ich weiter untern.
Die von Dir beanstandete 4 im Lösungsbuch ist ein Fehler.
> Außerdem steht im Lösungsbuch : Für n > 1 ist die
> zugehörige Gerade [mm]g_n[/mm] eine Sekante und für n < 1 eine
> Passante.
>
> Aber ist es nicht anders herum, also für n > 1 eine
> Passante und für n < 1 eine Passante?
Wir haben eine Sekante, wenn es zwei Schnittpunkte gibt, eine tangente bei einem Schnittpunkt und eine Passante, wenn es keinen Schnittpunkt gibt.
Um dies herauszufinden, schauen wir uns an, was unter der Wurzel steht. ist es >0, so gibt's zwei Schnittpunkte, denn [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind dann verschieden:
4*(4-2*2n)>0 <==> 1-n>0 <==> 1>n <==> n<1
Also Sekante für n<1.
Einen Schnittpunkt (Tangente) hat man, wenn das unter der Wurzel =0 ist, denn dann unterscheiden sich neg. und pos. Wurzel nicht.
4*(4-2*2n)=0 <==> ...
Keinen Schnittpunkt (Passante) hat man, wenn das unter der Wurzel <0 ist, denn die Wurzel aus einer neg. Zahl ist nicht definiert.
4*(4-2*2n)<0 <==> ...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
