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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Parabellänge
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Parabellänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 So 22.06.2008
Autor: marc62

Aufgabe
Um nochmal meine Unkenntnis in Sachen Vektoren zu unterstreichen , noch folgende Frage
WIe bestimme ich die Länges der Parabel a(t)= [mm] {t\choose t^2}, 0\le t\le1 [/mm]

??

        
Bezug
Parabellänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 22.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo marc62,

> Um nochmal meine Unkenntnis in Sachen Vektoren zu
> unterstreichen , noch folgende Frage
> WIe bestimme ich die Länges der Parabel a(t)= [mm]{t\choose t^2}, 0\le t\le1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> ??


Stichwort Bogenlänge.

Berechne $l_a=\int\limits_{0}^{1}||a'(t)|| \ dt}$


LG

schachuzipus



Bezug
                
Bezug
Parabellänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 So 22.06.2008
Autor: marc62

Wäre das dann so ,

[mm] \integral_{0}^{1} 2t+1\,dt [/mm]  

und das wäre dann doch 2 , oder ?

Bezug
                        
Bezug
Parabellänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 So 22.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Wäre das dann so ,
>
> [mm]\integral_{0}^{1} 2t+1\,dt[/mm]  [notok]
>
> und das wäre dann doch 2 , oder ?


Es ist doch [mm] $a'(t)=\vektor{1\\2t}$ [/mm]

Also [mm] $||a'(t)||=\sqrt{1^2+(2t)^2}=\sqrt{1+4t^2}$ [/mm]

Das Integral [mm] $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{4t^2+1} \ dt}$ [/mm] ist allerdings ziemlich unschön zu berechnen.

Du kannst hier erstmal unter der Wurzel die 4 ausklammern und dann rausziehen:

[mm] $...=2\cdot{}\int\limits_{0}^1{\sqrt{t^2+\frac{1}{4}} \ dt}$ [/mm]

Hier hilfe m.E. die Substitution [mm] $t:=\frac{1}{2}\cdot{}\sinh(u)$ [/mm] weiter ...

Im weiteren Verlauf steht wohl auch noch eine partielle Integration an ...

Also ziemlich unschön, das Ganze

Gruß

schachuzipus

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Parabellänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 So 22.06.2008
Autor: marc62

Oh je!!!
Aber danke erstmal !

Kann das evt so aussehen:


[mm] \bruch {1}{4}*(2*\wurzel{4t^2+1}*t+sinh(t) [/mm]



Bezug
                                        
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Parabellänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 22.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Oh je!!!

kann man wohl sagen ;-)

>  Aber danke erstmal !
>  
> Kann das evt so aussehen:
>  
>
> [mm]\bruch {1}{4}*(2*\wurzel{4t^2+1}*t+sinh(t)[/mm]

Beinahe, es hat schon große Ähnlichkeit mit der Lösung ;-)

Ich komme auf den Ausdruck [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\left[\sinh(u)\cdot{}\cosh(u)+u\right]$ [/mm]

Wenn ich das zurücksubstituiere [mm] $\left[ \ t=\frac{1}{2}\sinh(u)\Rightarrow u=arcsinh(2t) \ \right]$, [/mm] so komme ich auf:

[mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\left[2t\cdot{}\sqrt{1+4t^2}+arcsinh(2t)\right]$ [/mm]


Gruß

schachuzipus

>  
>  


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Parabellänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 22.06.2008
Autor: marc62

zum schluss noch ne dumme Frage. Wie kann ich den arcsinh (2) berechnen.
das ist doch auch das gleiche wie sinh^-1.

Auf meinem Taschenrechner geht das leider nicht

Bezug
                                                        
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Parabellänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 22.06.2008
Autor: MathePower

Hallo marc62,

> zum schluss noch ne dumme Frage. Wie kann ich den arcsinh
> (2) berechnen.
> das ist doch auch das gleiche wie sinh^-1.
>
> Auf meinem Taschenrechner geht das leider nicht  

Ich kenne zwar Deinen Taschenrechner nicht,
aber auf meinem Taschenrechner (Casio fx-1150) geht das so:

     2 SHIFT hyp sin

Gruß
MathePower

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Parabellänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:05 So 22.06.2008
Autor: marc62

Dankeschön!

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