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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 19.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie folgendes [mm] Integral:\integral_{}^{}{\bruch{5x-1}{(x+1)(x^2-1)} dx} [/mm] |
Hi Leute,
ich komm bei der Aufgabe iwie nich weiter:(
Also ich hab ne PBZ gemacht und zwar so [mm] \bruch{5x-1}{(x+1)(x^2-1)}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{C}{x-1} [/mm] Ich mag die Zuhaltemethode nicht so, deswegen wollte ich den Koeffizientenvergleich machen. Ich hab also beide Seiten mit [mm] (x+1)(x^2-1) [/mm] multipliziert und erhalte: 5x-1= [mm] A(x^2-1)+\bruch{B(x+1)(x^2-1)}{(x-1)^2}+\bruch{C(x+1)(x^2-1)}{(x-1)}
[/mm]
Aber wie mach ich jetzt weiter? bei B und C seh ich nich wie man am besten kürzen kann:(
Würd mich über nen Tipp freuen:)
Gruß David
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Hallo David90,
> Berechnen Sie folgendes
> [mm]Integral:\integral_{}^{}{\bruch{5x-1}{(x+1)(x^2-1)} dx}[/mm]
> Hi
> Leute,
> ich komm bei der Aufgabe iwie nich weiter:(
> Also ich hab ne PBZ gemacht und zwar so
> [mm]\bruch{5x-1}{(x+1)(x^2-1)}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{C}{x-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ups, da haste ein VZ verdreht.
Im Nenner steht [mm](x+1)(x^2-1)=(x+1)(x+1)(x-1)=(x+1)^2(x-1)[/mm]
Also lautet der Ansatz: [mm]\frac{5x-1}{(x+1)(x^2-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x\red{+}1)^2}+\frac{C}{x-1}[/mm]
> Ich mag die Zuhaltemethode nicht so,
Ich auch nicht 
> deswegen wollte ich
> den Koeffizientenvergleich machen. Ich hab also beide
> Seiten mit [mm](x+1)(x^2-1)[/mm] multipliziert und erhalte: 5x-1=
> [mm]A(x^2-1)+\bruch{B(x+1)(x^2-1)}{(x-1)^2}+\bruch{C(x+1)(x^2-1)}{(x-1)}[/mm]
> Aber wie mach ich jetzt weiter? bei B und C seh ich nich
> wie man am besten kürzen kann:(
Also du musst zuerst mal den Ansatz korrigieren und dann gleichnamig machen.
Erweitere dazu [mm]\frac{A}{x+1}[/mm] mit [mm](x+1)(x-1)=x^2-1[/mm], entsprechend [mm]\frac{B}{(x+1)^2}[/mm] mit [mm]x-1[/mm] und [mm]\frac{C}{x-1}[/mm] mit [mm](x+1)^2[/mm]
Dann kannst du alles auf einen Bruchstrich schreiben.
Multipliziere dann im Zähler aus und sortiere nach Potenzen von x.
Dann kannst du mit dem Zähler [mm]5x-1[/mm] vergleichen ...
> Würd mich über nen Tipp freuen:)
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 19.02.2011 | | Autor: | David90 |
Aber im Nenner steht ja dann immernoch [mm] (x+1)^2(x-1) [/mm] und das kürzt sich ja auch nicht raus oder so... kann man 5x-1 nur mit dem Zähler vergleichen, obwohl im Nenner was steht?:O
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Hi,
> Aber im Nenner steht ja dann immernoch [mm](x+1)^2(x-1)[/mm] und das
> kürzt sich ja auch nicht raus oder so...
> kann man 5x-1 nur mit dem Zähler vergleichen, obwohl im Nenner was steht?:O
Ja.
$ [mm] \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2} +\frac{C}{x-1}=\frac{A(x^2-1)}{(x+1)(x^2-1)}+ \frac{B(x-1)}{(x+1)^2(x-1)}+\frac{C(x+1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A(x^2-1)+B(x-1)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}$.
[/mm]
Die Nenner stimmen nach dem Erweitern aller Partialbrüche also mit dem Nenner von [mm] \frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)} [/mm] überein. Das ist aber gerade der Bruch, den du zerlegen willst. Für Gleichheit müssen nur noch die Zähler gleich sein - dafür bestimmst du wie von schachuzipus beschrieben A,B und C durch Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 19.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ich weiß immer garnicht wie ich das machen soll. Wenn auf der einen Seite [mm] (x+1)(x^2-1) [/mm] steht und auf der anderen [mm] (x+1)^2 [/mm] und ich die gleichnamig machen soll. Ich seh immer garnicht mit was ich die rechte seite dann multiplizieren soll xD
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Hallo nochmal,
> Ich weiß immer garnicht wie ich das machen soll. Wenn auf
> der einen Seite [mm](x+1)(x^2-1)[/mm] steht und auf der anderen
> [mm](x+1)^2[/mm] und ich die gleichnamig machen soll. Ich seh immer
> garnicht mit was ich die rechte seite dann multiplizieren
> soll xD
Hä?
Du hast (linke Seite rot, rechte blau)
[mm]\red{\frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)}}=\blue{\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}}[/mm]
rechterhand alles auf den Hauptnenner bringen, dazu gleichnamig machen, wie ich es in der 1.Antwort erwähnt habe:
[mm]\gdw \red{\frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)}}=\blue{\frac{A(x+1)(x-1)}{(x+1)^2(x-1)}+\frac{B(x-1)}{(x+1)^2(x-1)}+\frac{C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}[/mm]
Nun ist es rechterhand gleichnamig, du kannst alles auf einen Bruchstrich schreiben:
[mm]\gdw \red{\frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)}}=\blue{\frac{A(x^2-1)+B(x-1)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nun rechterhand ausmultiplizieren:
$\gdw \red{\frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)}}=\blue{\frac{Ax^2-A1)+Bx-B)+Cx^2+2Cx+C}{(x+1)^2(x-1)}$
Und nach Potenzen von $x$ sortieren:
$\gdw \red{\frac{5x-1}{(x+1)^2(x-1)}}=\blue{\frac{(A+C)x^2+(B+2C)x+(C-A-B)}{(x+1)^2(x-1)}$
Nun hast du linkerhand und rechterhand einen Bruch mit gleichem Nenner, die Zähler musst du nun vergleichen, sie müssen auch übereinstimmen.
Es muss also gelten:
$5x-1=(A+C)x^2+(B+2C)x+(C-A-B)$
Bzw. $\red{0}\cdot{}x^2+\blue{5}\cdot{}x+\green{(-1)}=\red{(A+C)}x^2+\blue{(B+2C)}x+\green{(C-A-B)}$
Nun hast du also drei Gleichungen, um die Koeffizienten $A, B, C$ zu bestimmen.
Wie lauten die Gleichungen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso du hast den linken Nenner umgeschrieben in [mm] (x+1)^2(x-1). [/mm] Weil vorher stand ja da [mm] (x+1)(x^2-1). [/mm] Wenn ich das gewusst hätte, hätte ich den rest selbst hingekriegt^^
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