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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | | [mm] \int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx}[/mm] |
Guten Abend.
Mein Ansatz:
[mm] \int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx} = \int_{0}^{ \pi} sin(x)*sin(x) dx = \left[ sin(x)*(-cos(x))\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx
[/mm]
Bevor ich weiter mache ist nun meine Frage, ob ich dieses Gleichheitszeichen setzen darf:
[mm] \int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx} = \int_{0}^{ \pi} sin(x)*sin(x) dx = \left[ sin(x)*(-cos(x))\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx \blue{ =} \int_{0}^{ \pi} cos(x)*cos(x) dx
[/mm]
Ich habe die Grenzen in den Term in den eckigen Klammern eingesetzt (also obere minus untere) und das Minus von dem cos(x) vor das Integral geschrieben.
Mopsi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]\int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx}[/mm]
>
>
>
> Guten Abend.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx} = \int_{0}^{ \pi} sin(x)*sin(x) dx = \left[ sin(x)*(-cos(x))\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nein, das letzte Gleichheitszeichen gilt nicht, da müsste stehen:
[mm] $\ldots= \left[ -\sin(x)\cos(x)\right]_0^{\pi} [/mm] + [mm] \int_{0}^{ \pi} \sin(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x [/mm] $
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo notinX.
Und warum gilt es nicht?
Ich meine, wenn ich die Grenzen 0 und pi in das Produkt in den eckigen Klammern einsetze, dann steht da doch:
[mm]\left[ sin(x)*(-cos(x))\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx = sin( \pi)*(-cos(\pi)) - (sin(0)*(-cos(0)) - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx
[/mm]
Und damit fällt der Teil vor dem Integral weg.
Oder etwa nicht?
Mopsi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Hallo notinX.
>
> Und warum gilt es nicht?
>
> Ich meine, wenn ich die Grenzen 0 und pi in das Produkt in
> den eckigen Klammern einsetze, dann steht da doch:
>
> [mm]\left[ sin(x)*(-cos(x))\right]_0^{\pi} - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx = sin( \pi)*(-cos(\pi)) - (sin(0)*(-cos(0)) - \int_{0}^{ \pi} cos(x)*(-cos(x)) dx
[/mm]
>
> Und damit fällt der Teil vor dem Integral weg.
> Oder etwa nicht?
ja, das stimmt. Aber das Integral ist falsch, siehe mein vorheriger Beitrag.
>
> Mopsi
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:30 Do 30.05.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
das Integral ist völlig korrekt. Wieso sollte es falsch sein?
MFG,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:18 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hiho,
>
> das Integral ist völlig korrekt. Wieso sollte es falsch
> sein?
ja, tut mir leid - ich habe mich verrechnet. Mopsis Ansatz ist korrekt.
Danke für den Hinweis.
>
> MFG,
> Gono.
Gruß,
notinX
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Hiho,
> Mein Ansatz:
...ist völlig korrekt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Leider komme ich nun nicht weiter. War das überhaupt eine wichtige Erkenntnis,
also das ich nun weiß, dass [mm]\int_{0}^{ \pi} sin(x)\cdot{}sin(x) dx = \int_{0}^{ \pi} cos(x)\cdot{}cos(x) dx[/mm]?
Könnt Ihr mit bitte eine Tipp geben?
Mopsi
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Hiho,
> Leider komme ich nun nicht weiter. War das überhaupt eine wichtige Erkenntnis,
Ja!
Wie hängen denn [mm] \sin^2 [/mm] und [mm] \cos^2 [/mm] zusammen?
Nutz das rechts aus und stelle nach deinem gewünschten Ausdruck um.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hi :)
> Wie hängen denn [mm]\sin^2[/mm] und [mm]\cos^2[/mm] zusammen?
Leider weiß ich das gar nicht. Mit trigonometrischen Funktionen tue ich mir sehr schwer :/
Sind die beiden denn sooo bekannt? Oder kann man sich das aus dem normalen Sinus und Cosinus herleiten?
Ich weiß das sin(x) und cos(x) phasenverschoben sind. Wenn ich mir nun [mm]sin^2[/mm] und [mm]cos^2[/mm] plotten lasse, dann sehe ich, dass sie nun nicht mehr phasenverschoben sind ( warum? ) beide die gleichen Nullstellen haben und dass sich die Amplitude in einem Punkt von beiden nur um das Vorzeichen unterscheidet.
Wie heißt das denn? :D
Also vom Betrag her sind es in jedem Punkt die gleichen Werte, nur das Vorzeichen ist anders. Wie nennt man das?
Und ich verstehe nicht genau wie mir das bei der Berechnung des Integrals weiterhelfen soll?
Jetzt verstehe ich nur warum es dasselbe Integral ist, also anschaulich.
Mopsi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Sa 01.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Pythagoras schon wusste: [mm] sin^2(a)+cos^2(a)=1
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Ahhhh, jetzt ist glaube ich der Groschen gefallen.
Danke, Leduart. Die Gleichung habe ich ganz vergessen.
[mm]sin^2(a)+cos^2(a)=1[/mm]
Hieraus kann ich schließen, dass [mm] \int_{}^{}{}sin^2(a)+ \int_{}^{}{}cos^2(a)= \int_{}^{}{} 1 = x[/mm]
Das ist doch legitim?
Und da ich nun festgestellt habe, dass [mm] \int_{}^{}{}sin^2(a) = \int_{}^{}{}cos^2(a)[/mm] kann ich nun einfach mal [mm] \int_{}^{}{}cos^2(a)[/mm] auf beiden Seiten addieren und erhalte: [mm] \int_{}^{}{}sin^2(a) + \int_{}^{}{}cos^2(a) = 2\int_{}^{}{}cos^2(a) = x[/mm]
Also [mm] \int_{}^{}{}sin^2(a) = \frac{x}{2}[/mm]
Und dann kann ich auch das bestimmte Integral lösen:
[mm]\int_{0}^{ \pi}{sin^2(x) dx} = \frac{\pi}{2}[/mm]
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mopsi,
ja, das ist okay so.
Du kannst auch noch einen kleinen Check durchführen mit der Gleichung
[mm] \sin^2 x = \bruch{1}{2} (1 - \cos 2x) [/mm]
Da wirst Du auf das gleiche Ergebnis kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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