Othogonalität von 2 Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Di 15.02.2005 | | Autor: | MikeZZ |
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Hi leute. Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Die aufgabe lautet folgender Maßen:
Prüfe, ob die gegebenen Geraden g und h zueinander orthogonal sind!
g: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
h: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{7 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
ich wäre euch echt sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
MFG Mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 15.02.2005 | | Autor: | Youri |
Hallo MikeZZ!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi leute. Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter
> und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Die aufgabe lautet
> folgender Maßen:
>
> Prüfe, ob die gegebenen Geraden g und h zueinander
> orthogonal sind!
Welches Element einer Geraden in Parameterform sagt denn etwas über die Orientierung/Richtung aus?
Richtig, der Richtungsvektor....
Diese beiden Geraden wären also dann orthogonal zueinander, wenn es auch ihre Richtungsvektoren sind.
Jetzt weiß ich dummerweise nicht, ob Du schon das ![[]](/images/popup.gif) Skalarprodukt kennst?
Mit ihm kannst Du nämlich sehr leicht überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen.
> g: [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
>
> h: [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{7 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Das Skalarprodukt im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ist für Vektoren verschieden vom Nullvektor folgendermaßen definiert:
[mm]\vec{a}\* \vec{b}= \begin{pmatrix}a_1\\a_2 \\a_3 \end{pmatrix}\* \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\b_3 \end{pmatrix}=a_1*b_1+a_2*b_2+a_3*b_3[/mm]
Wenn dieses Skalarprodukt Deiner Vektoren "null" ergibt - dann sind Deine Vektoren, und in diesem Fall auch Deine Geraden orthogonal.
Das liegt übrigens an folgendem Zusammenhang, der auch gilt:
$ [mm] \vec{a} \* \vec{b} [/mm] = [mm] \left | a \right [/mm] | * [mm] \left | b \right [/mm] | * [mm] \cos \alpha [/mm] $
Hierbei ist [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel, der zwischen den beiden Vektoren liegt.
Da der Cosinus den Wert Null hat für einen Winkel von 90° bzw. 270°, wird auch das Produkt genau dann Null, wenn es sich bei dem eingeschlossenen Winkel um einen rechten handelt. (Die Beträge der Vektoren sind nach Voraussetzung ungleich Null)
Und - liegen die Geraden senkrecht zueinander?
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 15.02.2005 | | Autor: | MikeZZ |
Hi Andrea!
Vielen Dank für deine schnelle und sehr ausfürhliche Antwort. Hast mir sehr geholfen :)
und ja die Geraden waren orthogonal ;)
Danke nochmal und liebe Grüsse
Mike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 15.02.2005 | | Autor: | Youri |
Lieber Mike!
> und ja die Geraden waren orthogonal ;)
Exakt 
Liebe Grüße zurück,
Andrea.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 15.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Mike,
aber Du weißt ja hoffentlich, dass die Sache nur deshalb "so einfach" läuft, weil beide Geraden denselben Aufpunkt haben, sich daher mit Sicherheit (in diesem Punkt!) schneiden!?
Wenn das mal nicht der Fall sein sollte, musst Du natürlich zumindest hinterher noch nachweisen, dass es überhaupt einen Schnittpunkt gibt!
Puh! Da hab' ich mich getäuscht! Hab' die Definition von "Orthogonalität" bei Geraden nochmal nachgesehen! Es reicht tatsächlich schon aus, wenn nur die Richtungsvektoren orthogonal sind!
Danke, leduart! Wieder was dazugelernt!
mfG!
Zwerglein
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