Ortskurve (separierte Diskussion) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mi 29.09.2004 | | Autor: | amOk |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit meiner Mathehausaufgabe!
Gegeben sei dir Funktion [mm] f_k(x)=x^4-kx^2
[/mm]
Aufgabe: Bestimme die Ortslinie für die Tiefpunkte aller Funktionsgraphen
(zuvor sollte ich die Funktion allgemein untersuchen und die Graphen für k=-2 und k=2 skizzieren, das war kein Problem, aber mit der Ortskurve hab eich Probleme)! Kann mir jemand helfen, über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!!
Teilung dieser Diskussion. An amOK: Bitte beginne einen neuen Diskussionsstrang für neue Fragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo!
> Ich habe ein Problem mit meiner Mathehausaufgabe!
> Gegeben sei dir Funktion [mm]f_k(x)=x^4-kx^2
[/mm]
> Aufgabe: Bestimme die Ortslinie für die Tiefpunkte aller
> Funktionsgraphen
> (zuvor sollte ich die Funktion allgemein untersuchen und
> die Graphen für k=-2 und k=2 skizzieren, das war kein
> Problem, aber mit der Ortskurve hab eich Probleme)! Kann
> mir jemand helfen, über eine Antwort wäre ich sehr
> dankbar!!
>
>
Hallo!
du leitest die Funktion
[mm]f_k(x)=x^4-k*x^2[/mm] ab.
[mm]f_k'(x)=4*x^3-2*k*x[/mm] und setzt [mm]f_k'(x)=0[/mm]
[mm]f_k'(x)=4*x^3-2*k*x=2*x*(2*x^2-k)=0[/mm]
Jetzt bitte weiterrechnen und Tiefpunkte bestimmen.
Klar?
Sonst bitte wieder fragen.
Liebe Grüße
Emily
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 29.09.2004 | | Autor: | amOk |
Danke erstmal @ EMILY !!
Also das mit den Ableitungen kann ich und verstehe ich auch (bzw. hab ich vorher schon verstanden), was mir unklar is, wei ich zu der Ortskurve komme...!! Würdes du mir nochmal helfen, das wäre nett!?bitte!!
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Hallo amOK,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke erstmal @ EMILY !!
> Also das mit den Ableitungen kann ich und verstehe ich
> auch (bzw. hab ich vorher schon verstanden), was mir unklar
> is, wei ich zu der Ortskurve komme...!! Würdes du mir
> nochmal helfen, das wäre nett!?bitte!!
>
Du hast doch die schöne Anleitung von m00xi sicher gelesen.
An der solltest du dich lang hangeln und selbst einen Lösungsansatz hier posten.
Dann sehen wir viel besser, wo es hakt, und klönnen dir gezielt weiterhelfen.
Im übrigen: es ist besser, mit einer neuen Frage auch einen neuen Strang aufzumachen, als sich einfach an einen (alten) dran zu hängen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Emily |
hallo
jetzt bist du an der Reihe.
also
[mm]x= 0 \vee x=-\wurzel{k/2} \vee x=\wurzel{k/2}; k>0[/mm]
Bestimme jetzt die Tiefpunkte allgemein.
Liebe Grüße
Emily
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 29.09.2004 | | Autor: | amOk |
danke noch mal für die weitere hilfe, aber ich verstehe es nicht, bitte nicht böse sein, aber ich bin nicht so gut in mathematik. wie geht es denn nun weiter (zu den tiefpunkten?)?? über eine antwort würde ich mich sehr freuen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 29.09.2004 | | Autor: | amOk |
ach ne, moment mal, das sind doch die tiefpunkte (oder?), wenn dieses die tiefpunkte sind, wie komme ich dann zu der ortskurve?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Emily |
> ach ne, moment mal, das sind doch die tiefpunkte (oder?),
wo sind die Tiefpunkte?
bitte erst berechnen, dann gehts weiter.
Gruß
Emily
> wenn dieses die tiefpunkte sind, wie komme ich dann zu der
> ortskurve?!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mi 29.09.2004 | | Autor: | amOk |
und wie bereche ich diese, es ist ja nciht das ich es nicht versuche, aber da kommt nix vernünftiges raus....! muss man die x werte in die ausgangs funktion einsetzen um die y-Koordinate der Tiefpunkte zu erhalten?? Wenn das richtig is, weiss ich aber noch immer nicht, wie ich zu der Ortskurve/Ortslinie komme...!? (Danke für Ihre scheinbar unendliche Geduld!!!)
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Hallo erstmal.
Nun mal komplett und langsam von vorne.
Du willst von der Funktion [mm]f_k(x)=x^4-kx^2[/mm] die Ortskurve aller Tiefpunkte bestimmen.
Die Ortskurve der Tiefpunkte ist aber nichts anderes als die Menge aller Tiefpunkte (für alle erlaubten k).
Was Du nun wahrscheinlich suchst, ist eine Beschreibung dieser Kurve ohne den Parameter k.
Dazu bestimmen wir erstmal alle Tiefpunkte, indem wir erstmal erste und zweite Ableitung der Funktion bilden:
[mm]f'_k(x)=4x^3-2kx[/mm]
[mm]f''_k(x)=12x^2-2k[/mm]
Soweit so gut. Extrempunkte können sich überhaupt nur an den Stellen befinden, an denen [mm]f'(x_e)=0[/mm].
Das ist an folgenden Stellen der Fall:
[mm]x_{e1}=0 \vee x_{e2,3}^2=\bruch{k} {2}[/mm]
Damit es sich bei den Extrema aber auch um Tiefpunkte handelt, muß
[mm]f''(x_e)>0[/mm] sein ("Der Graph macht eine Linkskurve").
Daraus folgt:
[mm]f''_k(x_e)=12*\bruch{k} {2}-2k=4k>0[/mm]
Das ist immer der Fall, da laut Aufgabenstellung k>0.
Wie leicht zu überprüfen ist, gibt es an der Stelle xe1 deshalb einen Hochpunkt.
Das heißt, für jedes erlaubte k hat der Graph an den Stellen
[mm]x_{e2,3}^2=\bruch{k} {2}[/mm]
Tiefpunkte.
Nun müssen wir noch den y-Wert der Tiefpunkte berechnen.
Dieser ergibt sich durch einfaches Einsetzen zu
[mm]y_e=\bruch{k^2} {4}-k*\bruch{k} {2}=-\bruch{k^2}{4}[/mm].
Damit gilt für unsere Tiefpunkte:
[mm]x_{e2,3}^2=\bruch{k} {2}[/mm]
[mm]y_e=-\bruch{k^2} {4}[/mm].
Nun zur Ortskurve. Dazu lösen wir beispielsweise die obere Gleichung nach k auf und setzen das dann in die untere ein, wodurch wir die Gleichung
[mm]y=-x^4[/mm]
für die Ortskurve erhalten. (Das Verfahren nennt man auch Parameterelimination)
Das heißt im Klartext: Für alle k>0 liegen die Tiefpunkte der Funktion
[mm]f_k(x)=x^4-kx^2[/mm]
auf der (Orts)kurve
[mm]y=-x^4[/mm].
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß,
Christian
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