Ortskurve komplexer Funktionen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die komplexwertige Funktion mit CRz→:
mit z(t)=(3-t)+j*(1+t) teR
Skizzieren Sie deutlich die zugehörige Ortskurve O(z) und die inverse Ortskurve O(1/z).
Berechnen Sie eine geometrisch deutliche Parametrisierung der inversen Ortskurve. |
Jetzt meine Frage, setze ich bei der Ortskurve einfach für t Werte ein, wie z.B. t=1 würde ergeben: 2+2j
2j wäre der y Anteil und 2 der x Anteil, diese Punkte einfach im Koordinatensystem zeichen und die Kurve ziehen? Oder habe ich da gerade die falsche Vorstellung?
Wie sieht das mit der inversene aus?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Di 11.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
> Gegeben ist die komplexwertige Funktion mit CRz→:
> mit z(t)=(3-t)+j*(1+t) teR
> Skizzieren Sie deutlich die zugehörige Ortskurve O(z) und
> die inverse Ortskurve O(1/z).
> Berechnen Sie eine geometrisch deutliche Parametrisierung
> der inversen Ortskurve.
>
> Jetzt meine Frage, setze ich bei der Ortskurve einfach für
> t Werte ein, wie z.B. t=1 würde ergeben: 2+2j
> 2j wäre der y Anteil und 2 der x Anteil, diese Punkte
> einfach im Koordinatensystem zeichen und die Kurve ziehen?
Ja genau. Gibt dann eine Gerade.
> Oder habe ich da gerade die falsche Vorstellung?
> Wie sieht das mit der inversene aus?
Weisst du, dass man beim Teilen durch eine Komplexe Zahl komplex konjugiert um es besser darzustellen?
Gruss
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komplex kunjugieren bedeutet ja zB [mm] \bruch{4+j}{3+j} [/mm] dass man dann sowohl Zähler und Nenner mit (3-j) multipliziert bei [mm] \bruch{4+j}{3-j} [/mm] das ganze mit (3+j). Passt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mi 12.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ja.
Und wenn du jetzt die Ortskurve [mm] \bruch{1}{z} [/mm] darstellen sollst, so musst du halt dieses z (in Abhängigkeit von t) komplex kongugieren. Der Vorteil davon ist: du hast in den Nennern keine Immaginären Zahlen mehr, hast also wieder eine Darstellung [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = a + j*b, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil ist.
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Muss ich dann bei 1/z für z meine funktion (3-t)+j*(1+t) einsetzen?
Oder wie muss ich das verstehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mi 12.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ja.
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[mm] \bruch{1}{(3-t)+j*(1+t)}
[/mm]
aber dann muss ich nicht mehr komplex konjugieren oder?
Gleich normal vorgehen wie Beispiel eins?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 12.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Was heisst dann??? Genau jetzt komplex konjugieren.
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Wie säh das in dem Falle aus?
[mm] \bruch{1}{(3-t)+j+jt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(3-t)+j+jt} [/mm] * [mm] \bruch{3+t-j-jt}{3+t-j-jt}
[/mm]
Falsch oder?
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> Wie säh das in dem Falle aus?
>
> [mm]\bruch{1}{(3-t)+j+jt}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{(3-t)+j+jt}[/mm] * [mm]\bruch{3+t-j-jt}{3+t-j-jt}[/mm]
>
>
> Falsch oder?
ne, aber ich hätte nicht ausgeklammert, also lass j(1+t) stehen
dann merkst du schneller, dass du im nenner [mm] (a+jb)*(a-jb)=a^2+b^2 [/mm] hast
gruß tee
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alles klar verstanden :)
Dann habe ich:
[mm] \bruch{((3+t)-j-jt)}{((3+t)-j-jt)^2}
[/mm]
Nur wie weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mi 12.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Mach doch nicht alles in Miniiiischritten.
Wie wärs wenn du das Quadrat im Nenner ausrechnest? Wenn du das richtig gemacht hast solle keine Imaginäre Zahl mehr im Nenner sein.
Schreib es dann in der Form a + ib
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Ahh verstehe aus j² wird ja -1,
habe jetzt im Nenner 8-4t
[mm] \bruch{(3a-t)-i-it}{8-4t}
[/mm]
Sooo?
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Hallo
[mm] \bruch{1}{(3-t)+j+tj}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(3-t)+(1+t)j}
[/mm]
die konjugiert komplexe Zahl zu (3-t)+(1+t)j lautet (3-t)-(1+t)j
[mm] =\bruch{1*[(3-t)-(1+t)j]}{[(3-t)+(1+t)j]*[ (3-t)-(1+t)j]}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)-(1+t)j}{(3-t)^2-(1+t)^2*j^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)-(1+t)j}{(3-t)^2+(1+t)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)-(1+t)j}{9-6t+t^2+1+2t+t^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)-(1+t)j}{2t^2-4t+10}
[/mm]
Steffi
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Danke, und dann für t wieder werte einsetzen und Zeichen, dann habe ich die inverse Ortskurve, richtig?
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Hallo earthhero,
> Danke, und dann für t wieder werte einsetzen und Zeichen,
> dann habe ich die inverse Ortskurve, richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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> alles klar verstanden :)
>
> Dann habe ich:
>
> [mm]\bruch{((3+t)-j-jt)}{((3+t)-j-jt)^2}[/mm]
>
> Nur wie weiter?
falsch
lies nochmal was ich geschrieben habe
gruß tee
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Stimmt...
[mm] \bruch{3+t-j-jt}{(3-t)^2-(j+jt)^2}
[/mm]
So gel?
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Hallo earthhero,
> Stimmt...
>
> [mm]\bruch{3+t-j-jt}{(3-t)^2-(j+jt)^2}[/mm]
>
> So gel?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 13.01.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo MathePower, im Zähler steht doch aber 3-t-j-jt, oder habe ich etwas übersehen? Steffi
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Hallo Steffi21,
> Hallo MathePower, im Zähler steht doch aber 3-t-j-jt, oder
> habe ich etwas übersehen? Steffi
Nein, da hast Du nichts übersehen.
Gruss
MathePower
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