Orthonormalbasis von Polynomen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mo 05.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Guten Abend.
Ich hab folgende Aufgabe zu lösen:
Sei [mm] V_n [/mm] der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n in einer Unbekannten X. Zeige, daß [mm] V_n [/mm] mit <P|Q > := [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {P(X) Q(X) dX} zu einem euklidischen Vektorraum wird. Bestimmt eine Orthonormalbasis für [mm] V_2.
[/mm]
Okay, also beim ersten Teil der Aufage muß man ja nur zeigen das das Skalarprodukt, symmetrisch, bilinear und positiv definit ist.
Meine Frage zielt auf den zweiten Teil ab.
1) Ist es korrekt das ich als Standartbasis [mm] u_1=1 [/mm] , [mm] u_2=x [/mm] und [mm] u_3=x^2 [/mm] wähle? Wenn ja, dann habe ich ein Problem bei der Bestimmung des zweiten Vektos der Orthogonalbasis, nämlich: [mm] v_2=u_2-proj_w_2=u_2- \bruch{}{||v_1||^2}*v_1 [/mm] würde mit eingesetzen Vektoren ergeben: [mm] v_2=x- \bruch{x}{1}*1=0. [/mm] Aber das wiederspricht ja der linearen Unabhängigkeit. Es muß ja [mm] v_2 [/mm] ungleich 0 rauskommen. Muß ich vielleicht erst nochwas mit meinem angegebenen Integral machen? Ich weiß, das ich nicht sonderlich viele Ansätze in meiner Darstellung habe, wäre aber trotzdem nett, wenn mir da einer einen Tipp zu geben könnte. Vielen dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 06.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
<v1,u2>=1/2 und x kommt nicht vor! damit v2=x-1/2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 06.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi leduart.
hm sorry, aber ich hab deine Erklärung leider nicht so ganz verstanden.
Also [mm] u_1=1, u_2=x [/mm] und [mm] u_3=x^2.
[/mm]
Dann ist doch [mm] =1*x=x. [/mm] wie kommst du denn da auf [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
Hast du irgentwie die Stammfunktinon von x ausgerechnet, und die Grenzen a=0 und b=1 eingesetzt. Wäre nett, wenn du mir das nochmal kurz erklären könntest.
gruß Benno
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Hallo BennoO.,
> Also [mm]u_1=1, u_2=x[/mm] und [mm]u_3=x^2.[/mm]
> Dann ist doch [mm]=1*x=x.[/mm] wie kommst du denn da auf
> [ [mm] mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
[/mm]
> Hast du irgentwie die Stammfunktinon von x ausgerechnet,
> und die Grenzen a=0 und b=1 eingesetzt. Wäre nett, wenn du
> mir das nochmal kurz erklären könntest.
es ist eine Orthonormalbasis gesucht. Eine solche Orthonormalbasis kann mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren berechnen:
[mm]
\begin{gathered}
w_{1} (x)\;: = \;\frac{{u_{1} (x)}}
{{\left| {u_{1} (x)} \right|}}\; = \;1 \hfill \\
w_{2} (x)\;: = \;u_{2} (x)\; - \; < \;u_{2} (x),\;w_{1} (x) > \;w_{1} (x) \hfill \\
< \;u_2 (x),\;w_1 (x) > \;: = \;\int\limits_{0}^{1} {x\; \bullet \;1} \;dx\; = \;\left[ {\frac{{x^2 }}
{2}} \right]_{0}^{1} \; = \;\frac{1}
{2} \hfill \\
\Rightarrow \;w_{2} (x)\; = \;x\; - \;\frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Um jetzt das noch zu orthonomieren, muss Du noch den [mm]|w_{2}(x)|[/mm] ermitteln und durch diesen dividieren.
Gruß
MathePower
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