www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Orthonormalbasis gesucht
Orthonormalbasis gesucht < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Orthonormalbasis gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 28.06.2010
Autor: larissa18

Hallo zusammen. Sitz gerade vor folgender Aufgabe und weiß nicht so recht
wie man diese anpacken könnte.
Und zwar hat man eine Matrix A gegeben mit
A= [mm] \pmat{ 2&i&0\\-i&2&0\\0&0&2} [/mm]
Nun soll man eine Orthonormalbasis bzgl. des [mm] \IC^3 [/mm] angeben die orthogonal bezüglich der durch A gegebenen Hermiteschen Form ist.
Meine erste Frage ist nun was die mit der hermiteschen Form von A meinen. Einfach nur, dass A symetrisch bzw. hermitesch ist (da in [mm] \IC^3)? [/mm] Und zweitens wie kommt man auf geeignete Baisvektoren? Durch ausprobieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthonormalbasis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Mo 28.06.2010
Autor: ChopSuey

Hi Larissa,


>  Meine erste Frage ist nun was die mit der hermiteschen
> Form von A meinen. Einfach nur, dass A symetrisch bzw.
> hermitesch ist (da in [mm]\IC^3)?[/mm]

Ja. Deine Matrix $\ A $ ist komplex hermitesch, also ist sie []normal. Das kannst du auch relativ schnell nachprüfen.

> Und zweitens wie kommt man
> auf geeignete Baisvektoren? Durch ausprobieren?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  

Aufgrund dessen, dass es sich um eine normale Matrix handelt, folgt schon, dass es in $ [mm] \IC^3 [/mm] $ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von$\ A $ gibt.

Überdies gilt, dass die Eigenvektoren von $ A $ zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.

Sind Deine Eigenwerte hingegen nicht verschieden, kannst du die Basisvektoren mittels Gram-Schmidt-Verfahren zu einer Orthonormalbasis machen.

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Mo 28.06.2010
Autor: larissa18

Vielen lieben Dank für deine Antwort.
Also muss man jetzt im ersten Schritt das charakteristische Polynom von
A die Eigenwerte und die dazugehörenden  Eigenvektoren berechnen, oder?

Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mo 28.06.2010
Autor: ChopSuey

Hi Larissa,

> Vielen lieben Dank für deine Antwort.
>  Also muss man jetzt im ersten Schritt das
> charakteristische Polynom von
> A die Eigenwerte und die dazugehörenden  Eigenvektoren
> berechnen, oder?

[ok]

Sind deine Eigenwerte alle verschieden, so kannst du sicher sein, dass deine Eigenvektoren orthogonal sind. Sind sie es nicht, kannst du, wie gesagt, die Eigenvektoren mittels Gram-Schmidt zu einer Orthonormalbasis machen.

Viele Grüße
ChopSuey


Bezug
                                
Bezug
Orthonormalbasis gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Di 29.06.2010
Autor: larissa18

Ok. Ich habe jetzt die  Eigenwerte x=1, y=2, z=3
Zu x gehört nun der Eigenvektor (-i,1,0) zu y (0,0,1) und zu z (i,1,0) Das Problem ist nun dass nun das Skalarprodukt vom Eigenvektor zu x und dem von z nicht Null ergibt. Wenn ich jetzt anstatt (i,1,0) einfach [mm] (-\wurzel{2},\wurzel{2}i,0) [/mm] wähle so wären die Vektoren zwar orthogonal jedoch könnte ich sie nicht normalisieren da sich dann für den neu gewählten Vekor Null ergäbe. Weißt du was ich falsch gemacht habe?
larissa

Bezug
                                        
Bezug
Orthonormalbasis gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Di 29.06.2010
Autor: Niladhoc

Hallo,

das Skalarprodukt ist auf [mm] \IC [/mm] durch hermitesche Adjunktion definiert (transponieren + komplex konjugieren; Ergebnisse habe ich nicht kontrolliert)

lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]