Orthonormalbasis finden < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Mo 18.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | [mm] b_{1}=\vektor{3 \\ 1} b_{2}=\vektor{2 \\ 2}
[/mm]
Zu finden ist eine Orthonormalbasis zu den Basisvektoren. |
Hallo,
ich schreibe gleich eine Klausur und mir ist aufgefallen, dass ich gelernt habe eine Orthogonalbasis aufzustellen und nicht eine Orthonormalbasis :S
Was ist da eigentlich der Unterschied?
Jetzt versuche ich eine Orthonormalbasis zu erstellen und scheiter am rechnen.
[mm] v_{1}=\bruch{b_{1}}{\parallel b_{1}\parallel}=\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{3 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2}=b_{2}-\cdot v_{1}=\vektor{2 \\ 2}-<\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{3 \\ 1},\vektor{2 \\ 2}>\cdot\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{3 \\ 1}=??
[/mm]
Hier scheiter ich beim zusammenrechnen.
Könnte mir das jemand bitte in kleinen Schritten einmal zeigen? Es ist dringend 
Vielen Dank, Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] <\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{3 \\ 1},\vektor{2 \\ 2}>= \bruch{1}{\wurzel{10}}(3*2+1*2) [/mm] = [mm] \bruch{8}{\wurzel{10}}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
es ist = [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] - [mm] \bruch{8}{10} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{4}{10} \\ - \bruch{12}{10}}
[/mm]
der vektor ist jedoch nur orthogonal. du musst ihn noch normieren (also durch dessen länge teilen)
Bemerkung: zeih den skalar von [mm] <\bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{3 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2}> [/mm] einfach raus. es gilt:
[mm] <\bruch{1}{\wurzel{10}} \vektor{3 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2}> [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm] * < [mm] \vektor{3 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2}>
[/mm]
viel erfolg bei der klausur
gruß bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Nisse |
> ich schreibe gleich eine Klausur und mir ist aufgefallen,
> dass ich gelernt habe eine Orthogonalbasis aufzustellen und
> nicht eine Orthonormalbasis :S
> Was ist da eigentlich der Unterschied?
Eine Orthonormalbasis ist eine normierte Orthogonalbasis, zusätzlich haben also alle Vektoren die Länge 1.
> [mm]v_{1}=\bruch{b_{1}}{\parallel b_{1}\parallel}=\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{3 \\ 1}[/mm]
Dies ist genau die richtige Formel: Vektor durch Länge des Vektors ergibt neuen Vektor mit gleicher Richtung und Länge 1.
Aber wie multipliziert man nochmal eine Zahl [mm]\frac{1}{\wurzel{10}}[/mm] mit einem Vektor [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm]?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
[mm] \bruch{1}{\wurzel{10}} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{3 * \bruch{1}{\wurzel{10}}\\ 1 * \bruch{1}{\wurzel{10}}}
[/mm]
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