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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthonormalbasis
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Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 02.07.2004
Autor: toffel

Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Berechne eine Orthonormalbasis des folgenden Unterraums U[mm]\subseteq\IR^5[/mm] (bezüglich dem Standartskalarprodukt auf [mm]\IR^5[/mm]):

U = Lin[mm] \begin{pmatrix} \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \\0 \end{pmatrix}, & \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, & \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\0 \\1 \end{pmatrix}, & \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 0 \\2 \\3 \end{pmatrix}\\ \end{Bmatrix} \end{pmatrix}[/mm]

Ich bin nicht zum Seminar gewesen, desswegen habe ich keinen Plan wie man das macht.



Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Fr 02.07.2004
Autor: Stefan

Hallo toffel!

Du kannst zum Beispiel das []Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt anwenden.

Ich fange es mal an:

1. Vektor:

[mm] $u_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$ [/mm]

Ist schon normiert, also ist [mm] $\tilde{u_1}= u_1$ [/mm] das erste Element der gesuchten Orthonormalbasis. Ansonsten hätte man [mm] $\tilde{u_1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\Vert u_1 \Vert} \cdot u_1$ [/mm] gerechnet.

2. Vektor:

[mm] $u_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm]

Ist schon normiert, also ist [mm] $\tilde{u_2} [/mm] = [mm] u_2$ [/mm] das zweite Element der gesuchten Orthonormalbasis.

3. Vektor:

[mm] $u_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]  = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

Nun muss man normieren:

Wegen [mm] $\left\Vert \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\Vert [/mm] = [mm] \sqrt{1^2 + 1^2} [/mm] = [mm] \sqrt{2}$ [/mm] ist

[mm] $\tilde{u_3} [/mm] = [mm] \frac{1}{\Vert u_3\Vert} \cdot u_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

das dritte Element der gesuchten Orthonormalbasis.

Den letzten Schritt kriegst du selber hin, oder? ;-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Fr 02.07.2004
Autor: toffel

Hallo Stefan,

Danke diese Formel kannte ich nicht.
ich habe den letzten Vektor ausgerechnet und komme auf:

[mm] u_4 [/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel 6}[/mm][mm] *\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Also ist die Orthonormalbasis: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\bruch{1}{\wurzel 2}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\bruch{1}{\wurzel 6}* \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]  

Mfg. Toffel





Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Fr 02.07.2004
Autor: Stefan

Hallo toffel!

> Hallo Stefan,
>  
> Danke diese Formel kannte ich nicht.
>  ich habe den letzten Vektor ausgerechnet und komme auf:
>  
> [mm]u_4[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel 6}[/mm][mm] *\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> Also ist die Orthonormalbasis: [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\bruch{1}{\wurzel 2}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\bruch{1}{\wurzel 6}* \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

[ok]

Liebe Grüße
Stefan

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