Orthonormalbasis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 22.02.2012 | | Autor: | chara18 |
| Aufgabe | Sei K = R und sei V ein R-Vektorraum mit Basis B = {v1; v2; v3} und h <; > : V x V -> K die Bilinearform gegeben durch
< a1v1 + a2v2 + a3v3; b1v1 + b2v2 + b3v3 > =
a1b1 +1/2 a2b2 + 6a3b3 -1/2 a1b2 - a1b3 - 1/2 a2b1 - a3b1.
(a) (1 Punkte) Bestimmen Sie die Grammatrix von h ; i bezüglich B:
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass < ; > ein Skalarprodukt ist.
(c) (6 Punkte) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V . |
Hallo : )
Aufgabe a und b habe ich hingekriegt. Aber c verstehe ich gar nicht. Ich kann mit Orthonormalbasen nichts anfangen. Wir hatten das auch nur ganz kurz in der Vorlesung angesprochen. Deswegen habe ich dazu nicht mal einen Ansatz :S
Kann mir bitte jemand sagen, wie ich voran gehen muss. Dann mache ich aufgabenteil c) auch selber und poste das nochmal rein.
LG Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
orthonormal heisst: 1. die Vektoren sind orthogonal, also [mm] =0 [/mm] und zweitens sie sind normal, d.h. ihr Betrag [mm] =|b_i|= [/mm] 1.
du kannst also mit irgendeinem der Vektoren v anfangen, etwa [mm] v_1 [/mm] und [mm] b_1=v_1/|v_1|
[/mm]
der nächst Basisvektor soll senkrecht darauf stehen, wenn du von [mm] v_2 [/mm] die Komponente in [mm] b_1 [/mm] Richtung, also [mm] [/mm] abziehst ist [mm] v2-*b_1 [/mm] senkrecht zu [mm] b_1, [/mm] wieder durch den Betrag teilen.
[mm] b_3 [/mm] muss senkrecht auf [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] stehen, also musst du die Komponenten in [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] Richtung abziehen.
und das alles mit dem gegebenen Skalarprodukt.
dieses Verfahren heisst :Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, darunter findest du es in wiki oder deinem Skript oder Buch.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 23.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Ja ich verstehe es immer noch nicht :( Könntest du das mal mit Beispielen erklären.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Do 23.02.2012 | | Autor: | chrisno |
Nimm Dir mal aus der Standardbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] (1; 0; 0) und (0; 1; 0)
Welchen Betrag hat (1; 0; 0) mit diesem Skalarprodukt? Versehe (1; 0; 0) mit einem Faktor, so dass nun sein Betrag 1 ist.
Rechne nun das Skalarprodukt mit (0; 1; 0) aus. Ich tippe mal, das da nicht null herauskommt. Also musst Du eine Idee haben, was Du alles verändern musst, damit null herauskommt.
Danach bringst Du auch den neuen Vektor auf den Betrag 1.
Ich habe nichts davon bei diesem speziellen Beispiel gerechnet. Das überlasse ich Dir.
|
|
|
|
