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Orthogonalsystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 So 08.01.2006
Autor: Orgi

Aufgabe
Zeigen sie,dass <f;g> :=  [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} ein Skalarprodukt im Vektorraum F aller auf [-Pi;Pi] stetigen Funktion ist. Wobei a= -Pi und b=Pi ist

Zeigen sie, dass x -> sin(x) und x -> cos(x) bezüglich <> ein Orthogonalsystem bilden.  

Guten Tag,
Ich benötige Hilfe bei diesen beiden Aufgaben. vor allem der erste Teil bereitet mir Probleme.
Ich bedanke mich schon im voraus
Grüße ,steve

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/20623.html?1136739616

        
Bezug
Orthogonalsystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 So 08.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Linearität und Symmetrie sind trivial. Zur Positivität überlege dir Folgendes: Falls $f [mm] \not\equiv [/mm] 0$, dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f$ ein offenes Intervall, auf der $f$ nicht verschwindet. Was gilt dann für [mm] $\langle [/mm] f,f [mm] \rangle$? [/mm]

Beim zweiten Teil musst du zeigen, dass

[mm] $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\cos(x)\, [/mm] dx=0$

gilt...

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Orthogonalsystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Di 10.01.2006
Autor: Orgi

Aufgabe
siehe erster Post

Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Antwort. Mittlerweile ist mir der erste Teil der Aufgabe geglückt, jedoch bereitet mir der zweite Teil ein wenig Probleme. Ich bin nicht in der Lage die Stammfunktion für das obengenannte Integral zu finden. Kannst du mir in diesem Punkt helfen oder ist es überhaupt notwendig die Stammfunktion zu bilden? Existiert vielleicht eine andere Lösungsmöglichkeit?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalsystem: Symmetrie/Antisymmetrie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 10.01.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Orgi,
[willkommenmr]
Du kannst hierzu auch folgenden Zusammenhang ausnutzen:
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x)

viele Grüße
mathemaduenn

P.S.: Bitte keine Doppelpostings innerhalb des Matheraums produzieren.

Bezug
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