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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Wir betrachten den 3-dim. euklidischen Vektorraum [mm] \mathbb R^3
[/mm]
Wenn A eine Gerade [mm] \subset \mathbb R^3 [/mm] ist, die nicht durch den Ursprung geht, was ist dann [mm] A^{ \perp}
[/mm]
Was ist [mm] A^{ \perp}, [/mm] wenn A durch den Ursprung geht? |
Hallo!
Das sind erstmal nur 2 Fragen.
Hier eine nützliche Definition von uns:
[mm] M^{ \perp} [/mm] = [mm] \{ u \in V | u \perp M \}
[/mm]
Wir suchen also im Prinzip alle Vektoren des VR V, die senkrecht auf allen Elementen der Menge M stehen.
Wenn A jetzt eine Gerade ist, dann habe ich doch aber unendlich viele Ebenen, die senkrecht auf A stehen oder?
Allerdings ist es auch nicht der ganze Raum, denn die Vektoren, die parallel zum Richtungsvektor von A sind, sind eben nicht senkrecht zu A.
Allerdings gibt so eine Antwortmöglichkeit nicht. Ich vermute, es ist nur eine Ebene? Aber wieso? Ich kann doch im Prinzip unendlich viele Vektoren auf A von nem anderen Winkel setzen, die alle senkrecht auf A sind.
Ich hoffe, ihr wisst, was ich meine :)
Danke!
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> Wir betrachten den 3-dim. euklidischen Vektorraum [mm]\mathbb R^3[/mm]
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> Wenn A eine Gerade [mm]\subset \mathbb R^3[/mm] ist, die nicht durch
> den Ursprung geht, was ist dann [mm]A^{ \perp}[/mm]
>
> Was ist [mm]A^{ \perp},[/mm] wenn A durch den Ursprung geht?
> Hallo!
>
> Das sind erstmal nur 2 Fragen.
> Hier eine nützliche Definition von uns:
> [mm]M^{ \perp}[/mm] = [mm]\{ u \in V | u \perp M \}[/mm]
>
> Wir suchen also im Prinzip alle Vektoren des VR V, die
> senkrecht auf allen Elementen der Menge M stehen.
Hallo,
ja, so ist das.
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> Wenn A jetzt eine Gerade ist, dann habe ich doch aber
> unendlich viele Ebenen, die senkrecht auf A stehen oder?
> Allerdings ist es auch nicht der ganze Raum, denn die
> Vektoren, die parallel zum Richtungsvektor von A sind, sind
> eben nicht senkrecht zu A.
>
> Allerdings gibt so eine Antwortmöglichkeit nicht. Ich
> vermute, es ist nur eine Ebene? Aber wieso? Ich kann doch
> im Prinzip unendlich viele Vektoren auf A von nem anderen
> Winkel setzen, die alle senkrecht auf A sind.
>
> Ich hoffe, ihr wisst, was ich meine :)
Ja, ich verstehe genau, was Du meinst. Diese Aufgabe ist nicht ganz frei von Tücken...
Laß uns erstmal eine Gerade durch den Ursprung nehmen.
Du meinst, daß sämtliche Pfeile, die senkrecht um den Richtungsvektor dieser Geraden herumstehen (wie bei einer Flaschenbürste) in [mm] A^{\perp} [/mm] liegen, und das sind unendlich viele Ebenen, halt sämtliche Ebenen, die senkrecht zur vorgegebenen Geraden snd. Habe ich Dich da richtig verstanden?
Die Sache ist nun die, daß es völlig egal ist, wo ein Pfeil, der z.B. die Länge 3 hat und nach Südosten zeigt, liegt. Alle diese Pfeile, wo auch immer im Raum sie liegen, gehören zum selben Vektor [mm] \vektor{\bruch{3}{\wurzel{2}}\\-\bruch{3}{\wurzel{2}}}.
[/mm]
Und somit schrumpt die "Flaschenbürste" zusammen zu einem Stil, welcher im Nullpunkt um sich herum sternförmig die Vektoren hat, die senkrecht zur Geraden sind. Das ist die Ebene, die durch den Nullpunkt geht und senkrecht zur Geraden ist.
Beispiel: die Gerade sei [mm] vec{x}:=\lambda\vektor{2\\0\\3}.
[/mm]
Du suchst die [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] mit [mm] \lambda\vektor{2\\0\\3}*\vektor{x\\y\\z}=0 [/mm] für alle [mm] \lambda, [/mm] also die x,y,z, welche [mm] 2\lambda [/mm] + [mm] 3\lambda [/mm] y=0 lösen für jedes [mm] \lambda.
[/mm]
Ergebnis: das ist der Lösungsraum von 2x+3y=0, also die Ebene, die von [mm] \vektor{3\\0\\-2} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] aufgespannt wird.
So, nun zu der Geraden, die nicht durch den Ursprung geht - hier ist die Anschauung geneigt, sich spontan eine "Flaschenbürste" im Raum vorzustellen - doch halt:
welches sind denn die Elemente dieser Menge? Es sind die Ortsvektoren der Punkte, die auf dieser Geraden liegen, also sämtliche Verbindungvektoren zwischen dem Ursprung und den Punkten auf der Geraden! Und diese Vetkoren haben seeehr viele verschiedene Richtungen, und Deine Aufgabe ist es nun, einen zu finden, der auf allen senkrecht steht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Hi Angela!
Vielen Dank für deinen ausführlichen Post.
Hmm..ja, ich muss mir also immer nur die Ortsvektoren vorstellen.
Bei der Gerade durch den Mittelpunkt wird dann die Ebene durch diesen Normalenvektor und den Mittelpunkt genau festgelegt.
Wenn jetzt meine Gerade nicht im Mittelpunkt liegt, dann kann ich also meine Gerade irgendwo in den Raum zeichnen, und vom Mittelpunkt unendlich viele Vektoren auf die Gerade . Wenn ich mir das dann so vorstelle, muss es da auch eine EBENE geben, die die Bedingungen erfüllt.
Wenn ich eine einzigen Vektor betrachte, der
1) nicht der Nullvektor ist, dann muss das wohl auch eine Ebene sein, wobei da meine Anschauung schon wieder etwas verwirrt tut...denn den Vektor könnte ich ja auch beliebig im Raum schieben...aber dann hätten alle Vektoren, die senkrecht auf dem Vektor stehen zumindest Repräsentanten in der Ebene, oder?
2) Der Nullvektor: Naja, das muss wohl der ganze Raum sein.
Und wenn ich Ebenen betrachte, sind es auch Ebenen, die den Orthogonalraum bilden, nicht wahr?
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> Hi Angela!
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> Vielen Dank für deinen ausführlichen Post.
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> Hmm..ja, ich muss mir also immer nur die Ortsvektoren
> vorstellen.
> Bei der Gerade durch den Mittelpunkt wird dann die Ebene
> durch diesen Normalenvektor und den Mittelpunkt genau
> festgelegt.
>
> Wenn jetzt meine Gerade nicht im Mittelpunkt liegt, dann
> kann ich also meine Gerade irgendwo in den Raum zeichnen,
> und vom Mittelpunkt unendlich viele Vektoren auf die Gerade
> . Wenn ich mir das dann so vorstelle, muss es da auch eine
> EBENE geben, die die Bedingungen erfüllt.
>
> Wenn ich eine einzigen Vektor betrachte, der
> 1) nicht der Nullvektor ist, dann muss das wohl auch eine
> Ebene sein, wobei da meine Anschauung schon wieder etwas
> verwirrt tut...denn den Vektor könnte ich ja auch beliebig
> im Raum schieben...aber dann hätten alle Vektoren, die
> senkrecht auf dem Vektor stehen zumindest Repräsentanten in
> der Ebene, oder?
> 2) Der Nullvektor: Naja, das muss wohl der ganze Raum
> sein.
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> Und wenn ich Ebenen betrachte, sind es auch Ebenen, die den
> Orthogonalraum bilden, nicht wahr?
Kaum. Bei Deiner Aufgabe ist ja die Dimension des Gesamtraumes $3$. Die Summe der Dimensionen von Unterraum und orthogonalem Komplement muss deshalb $3$ sein. Hat Dein Unterraum die Dimension 2 ("Ebene"), dann hat sein orthogonales Komplement die Dimension 1 ("Gerade": effektiv - Normale zur Ebene).
Falls Die gegebene Gerade $A$ nicht durch den Ursprung geht, dann betrachte einfach die Ebene [mm] $\Sigma(A,O)$ [/mm] gebildet durch $A$ und den Koordinatenursprung $O$. Das orthogonale Komplement von $A$ muss dann der eindimensionale Unterraum seinder senkrecht auf dieser Ebene [mm] $\Sigma(A,O)$ [/mm] steht. [mm] $A^\perp$ [/mm] ist in diesem Falle [mm] ($O\notin [/mm] A$) eine Gerade (eindimensionaler Unterraum), keine Ebene (zweidimensionaler Unterraum).
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